Question

已知，如圖，在鈍角△ABC中，BE和AD分別是AC和BC邊上的高，BE和AD的延長線交于點(diǎn)H，點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn)．
（1）求證：∠FDG=90°；
（2）聯(lián)結(jié)FG，試問△FDG能否為等腰直角三角形？若能，試求∠ABC的度數(shù)，并寫出推理過程；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證∠GDC=∠ECB和∠FBD=∠FDB，根據(jù)Rt△BEC中∠EBC+∠ECB=90°即可解題；
（2）△FDG能為等腰直角三角形．理由：連接FG，若DG=DF，則BH=AC，易證∠EAH=∠DBH，即可證明△BDH≌△ADC，可得BD=AD，根據(jù)∠BDA=90°，即可解題．

解答：解：（1）∵在Rt△ADC中，GA=GC，
∴DG=GC，
∴∠GCD=∠GDC，
又∵∠ECB=∠GCD，
∴∠GDC=∠ECB；
同理∠FBD=∠FDB，
∵在Rt△BEC中，∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠GDC+∠FDB=90°，即∠FDG=90°
（2）△FDG能為等腰直角三角形．
理由：連接FG，

若DG=DF，而DG=

1

2

AC，DF=

1

2

BH，
∴BH=AC，
∵∠EAH+∠BHD=90°，∠BHD+∠DBH=90°，
∴∠EAH=∠DBH，
在△BDH和△ADC中，

∠ADC=∠BDH ∠EAH=∠DBH BH=AC

，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∵∠BDA=90°，
∴∠ABC=45°．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BDH≌△ADC是解題的關(guān)鍵．