已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點M、N.當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(如圖1),易證BM+DN=MN.
(1)當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(如圖2),線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出猜想,并加以證明;
(2)當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時,線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想.

【答案】分析:(1)BM+DN=MN成立,證得B、E、M三點共線即可得到△AEM≌△ANM,從而證得ME=MN.
(2)DN-BM=MN.證明方法與(1)類似.
解答:解:(1)BM+DN=MN成立.
證明:如圖,把△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,
得到△ABE,則可證得E、B、M三點共線(圖形畫正確).
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°,
又∵∠NAM=45°,
∴△AEM≌△ANM,
∴ME=MN,
∵ME=BE+BM=DN+BM,
∴DN+BM=MN;

(2)DN-BM=MN.
在線段DN上截取DQ=BM,
在△AMN和△AQN中,

∴△AMN≌△AQN(SAS),
∴MN=QN,
∴DN-BM=MN.
點評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量.
練習冊系列答案
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A、精英家教網(wǎng)B、精英家教網(wǎng)C、精英家教網(wǎng)D、精英家教網(wǎng)

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18、如圖,已知在正方形ABCD中,P是BC上的一點,且AP=DP.求證:P是BC中點.

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6
.下列結(jié)論:
①△APD≌△AEB﹔②點B到直線AE的距離為
3
﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+
2

其中正確結(jié)論的序號是( 。

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