【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線交x軸于A(﹣1,0)和B(5,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),連接CD,將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸于H,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F.
(1)求拋物線解析式;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線上時(shí),求線段OD的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下:
①連接DF,求tan∠FDE的值;
②試探究在直線l上,是否存在點(diǎn)G,使∠EDG=45°?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)1;(3)①;②G(4,)或(4,6).
【解析】
(1)把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,解方程組即可;
(2)由C的縱坐標(biāo)求得F的坐標(biāo),由△OCD≌△HDE,得出DH=OC=3,即可求得OD的長(zhǎng);
(3)①先確定C、D、E、F四點(diǎn)共圓,由圓周角定理求得∠ECF=∠EDF,由tan∠ECF==,得到tan∠FDE=;
②連接CE,得出△CDE是等腰直角三角形,∠CED=45°,過(guò)D點(diǎn)作DG1∥CE,交直線l于G1,過(guò)D點(diǎn)作DG2⊥CE,交直線l于G2,則∠EDG1=45°,∠EDG2=45°,求得直線CE的解析式為,設(shè)直線DG1的解析式為,設(shè)直線DG2的解析式為,把D的坐標(biāo)代入即可求得m、n,從而求得解析式,進(jìn)而求得G的坐標(biāo).
(1)如圖1,∵拋物線交x軸于A(﹣1,0)和B(5,0)兩點(diǎn),∴,解得:,∴拋物線解析式為;
(2)如圖2,∵點(diǎn)F恰好在拋物線上,C(0,3),∴F的縱坐標(biāo)為3,把y=3代入得,,解得x=0或x=4,∴F(4,3),∴OH=4,∵∠CDE=90°,∴∠ODC+∠EDH=90°,∴∠OCD=∠EDH,在△OCD和△HDE中,∵∠OCD=∠EDH,∠COD=∠DHE=90°,CD=DE,∴△OCD≌△HDE(AAS),∴DH=OC=3,∴OD=4﹣3=1;
(3)①如圖3,連接CE,∵△OCD≌△HDE,∴HE=OD=1,∵BF=OC=3,∴EF=3﹣1=2,∵∠CDE=∠CFE=90°,∴C、D、E、F四點(diǎn)共圓,∴∠ECF=∠EDF,在RT△CEF中,∵CF=OH=4,∴tan∠ECF==,∴tan∠FDE=;
②如圖4,連接CE,∵CD=DE,∠CDE=90°,∴∠CED=45°,過(guò)D點(diǎn)作DG1∥CE,交直線l于G1,過(guò)D點(diǎn)作DG2⊥CE,交直線l于G2,則∠EDG1=45°,∠EDG2=45°,∵EH=1,OH=4,∴E(4,1),∵C(0,3),∴直線CE的解析式為,設(shè)直線DG1的解析式為,∵D(1,0),∴,解得m=,∴直線DG1的解析式為,當(dāng)x=4時(shí),=,∴G1(4,);
設(shè)直線DG2的解析式為,∵D(1,0),∴0=2×1+n,解得n=﹣2,∴直線DG2的解析式為,當(dāng)x=4時(shí),y=2×4﹣2=6,∴G2(4,6);
綜上,在直線l上,是否存在點(diǎn)G,使∠EDG=45°,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4,)或(4,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A(4,3)是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點(diǎn),連接OA,過(guò)A作AB∥x軸,截取AB=OA(B在A右側(cè)),連接OB,交反比例函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)P.
(1)求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)求△OAP的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,點(diǎn)P是CB邊上的一點(diǎn),且tan∠PAC=,⊙O是△APB的外接圓.
(1)求證:∠PAC=∠ABC;
(2)求證:AC是⊙O的切線;
(3)求⊙O的半徑.
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【題目】在矩形中,為的中點(diǎn),一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合,將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn),設(shè),下列四個(gè)結(jié)論:①;②; ③;④,正確的個(gè)數(shù)是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖:已知:點(diǎn)A(﹣4,0),B (0,3)分別是x、y軸上的兩點(diǎn).
(1)用尺規(guī)作圖作出△ABO的外接圓⊙P;(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)
(2)求出⊙P向上平移幾個(gè)單位后與x軸相切.
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【題目】小宇在學(xué)習(xí)解直角三角形的知識(shí)后,萌生了測(cè)量他家對(duì)面位于同一水平面的樓房高度的想法,他站在自家C處測(cè)得對(duì)面樓房底端B的俯角為45°,測(cè)得對(duì)面樓房頂端A的仰角為30°,并量得兩棟樓房間的距離為9米,請(qǐng)你用小宇測(cè)得的數(shù)據(jù)求出對(duì)面樓房AB的高度.(結(jié)果保留到整數(shù),參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7)
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【題目】如圖8,點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求證:BD是⊙O的切線.
(2)若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn),AE與BC相交于點(diǎn)F,且△BEF的面積為8,cos∠BFA=,求△ACF的面積.
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【題目】某學(xué)校為了解全校學(xué)生對(duì)電視節(jié)目的喜愛(ài)情況(新聞、體育、動(dòng)畫(huà)、娛樂(lè)、戲曲),從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少人?
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校約有1500名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生中喜歡娛樂(lè)節(jié)目的有多少人?
(4)該校廣播站需要廣播員,現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹(shù)狀圖或列表法解答)
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【題目】如圖,Rt△AOB中,∠AOB=90°,頂點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y=(x>0)與y=(x<0)的圖象上,則tan∠BAO的值為 ____.
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