Question

已知，如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，在不添加輔助線的條件下：
（1）∠BAC與∠DAE滿足什么關(guān)系時，（

 

）²=BD•CE（括號里填圖中已有線段）；
（2）證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)圖形可以得到括號中的線段一定是AB或AC，根據(jù)△ADB∽△EAC，對應(yīng)角相等以及等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠BAC和∠DAE的關(guān)系；
（2）證明△ADB∽△EAC，即可證得．

解答：（1）解：當2∠DAE-∠BAC=180°時，AB²=BD•CE；
（2）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∵2∠DAE-∠BAC=180°，
∴∠DAE-∠BAC=90°-

1

2

∠BAC．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-

1

2

∠BAC-∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

DB

AC

，
∴AB•AC=BD•EC，
又∵AB=AC，
∴AB²=BD•EC．

點評：本題考查了利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，鄰補角的概念，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．