【題目】聯(lián)想三角形外心的概念,我們可引入如下概念。

定義:到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),叫做此三角形的準(zhǔn)外心。

舉例:如圖1,若PA=PB,則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心。

應(yīng)用:如圖2,CD為等邊三角形ABC的高,準(zhǔn)外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度數(shù)。

探究:已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上,試探究PA的長(zhǎng)。

【答案】∠APB=90°,PA=2或

【解析】解:應(yīng)用:①若PB=PC,連接PB,

則∠PCB=∠PBC,

∵CD為等邊三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°。

∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=DB=AB。

與已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC。

②若PA=PC,連接PA,同理可得PA≠PC。

③若PA=PB,由PD=AB,得PD=AD =BD,∴∠APD=∠BPD=45°!唷螦PB=90°。

探究:∵BC=5,AB=3,∴AC=。

①若PB=PC,設(shè)PA=,則,∴,即PA=

②若PA=PC,則PA=2。

③若PA=PB,由圖知,

在Rt△PAB中,不可能。

∴PA=2或

應(yīng)用:連接PA、PB,根據(jù)準(zhǔn)外心的定義,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出PD與AB的關(guān)系,然后判斷出只有情況③是合適的,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠APB=45°,然后即可求出∠APB的度數(shù)。

探究:先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度,根據(jù)準(zhǔn)外心的定義,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三種情況,根據(jù)三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解

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(1)如圖 1,當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CB 上時(shí),通過(guò)觀察或測(cè)量,猜想△AEF 的形狀,并證明你的猜想;

(2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CB 的延長(zhǎng)線上時(shí),其它條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在點(diǎn) E 從點(diǎn)D 向點(diǎn)B 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,四邊形 AFNM 的面積是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生了變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若沒(méi)有發(fā)生變化,請(qǐng)求出其面積的值.

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A.B.

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