【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸于C、D兩點(diǎn),連接AC、BC,已知A(0,3),C(﹣3,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M,使|MB﹣MD|的值最大,并求出這個(gè)最大值;

(3)點(diǎn)Py軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)PPQPAy軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式是y=x2+x+3;(2)|MB﹣MD|取最大值為;(3)存在點(diǎn)P(1,6).

【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)對(duì)稱性,可得MC=MD,根據(jù)解方程組,可得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩邊之差小于第三邊,可得B,C,M共線,根據(jù)勾股定理,可得答案;

(3)根據(jù)等腰直角三角形的判定,可得∠BCE,∠ACO,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得關(guān)于x的方程,根據(jù)解方程,可得x,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得答案.

(1)將A(0,3),C(﹣3,0)代入函數(shù)解析式,得

,解得,

拋物線的解析式是y=x2+x+3;

(2)由拋物線的對(duì)稱性可知,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

∴對(duì)l上任意一點(diǎn)有MD=MC,

聯(lián)立方程組

解得(不符合題意,舍),,

∴B(﹣4,1),

當(dāng)點(diǎn)B,C,M共線時(shí),|MB﹣MD|取最大值,即為BC的長(zhǎng),

過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,

在Rt△BEC中,由勾股定理,得

BC=,

|MB﹣MD|取最大值為;

(3)存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,

在Rt△BEC中,∵BE=CE=1,

∴∠BCE=45°,

在Rt△ACO中,

∵AO=CO=3,

∴∠ACO=45°,

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,

過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于Q點(diǎn),∠PQA=90°,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+x+3)(x>0)

①當(dāng)∠PAQ=∠BAC時(shí),△PAQ∽△CAB,

∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,

∴△PGA∽△BCA,

,即

,

解得x1=1,x2=0(舍去),

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為×12+×1+3=6,

∴P(1,6),

②當(dāng)∠PAQ=∠ABC時(shí),△PAQ∽△CBA,

∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠ABC,

∴△PGA∽△ACB,

,

=3,

,

解得x1=﹣(舍去),x2=0(舍去)

∴此時(shí)無符合條件的點(diǎn)P,

綜上所述,存在點(diǎn)P(1,6).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為10和15,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)0<t<5時(shí),用含t的式子填空:

BP=_______,AQ=_______;

(2)當(dāng)t=2時(shí),求PQ的值;

(3)當(dāng)PQ=AB時(shí),求t的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某汽車專賣店銷售A,B兩種型號(hào)的新能源汽車.上周售出1A型車和3B型車,銷售額為96萬元;本周已售出2A型車和1B型車,銷售額為62萬元.

1)求每輛A型車和B型車的售價(jià)各為多少萬元?

2)甲公司擬向該店購買A,B兩種型號(hào)的新能源汽車共6輛,且A型號(hào)車不少于2輛,購車費(fèi)不少于130萬元,則有哪幾種購車方案?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出符合要求的圖形,所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合,具體要求如下:

(1)畫一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4,面積為6的直角三角形.

(2)畫一個(gè)底邊長(zhǎng)為4,面積為8的等腰三角形.

(3)畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形.

(4)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2,面積為6的等腰三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠MON=30°,點(diǎn)A1A2,A3,在射線ON上,點(diǎn)B1,B2,B3在射線OM上,A1B1A2A2B2A3A3B3A4均為等邊三角形.若OA1=1,則AnBnAn+1的邊長(zhǎng)為______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N,NDx軸,垂足為D,連接OM、ON、MN,則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是(  )

A. ONC≌△OAM

B. 四邊形DAMNOMN面積相等

C. ON=MN

D. 若∠MON=45°,MN=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,+1)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),在ACM,CBN中,AC=CM,BC=CN,ACM=BCN=60°,連接ANCM于點(diǎn)E,連接BMCN于點(diǎn)F

求證:(1AN=BM.(2CEF是等邊三角形

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC是等邊三角形,AB=,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn),點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn),連接BH、CH.當(dāng)∠BHD=60°,AHC=90°時(shí),DH=_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示,現(xiàn)將沿的方向平移,使得點(diǎn)移至圖中的點(diǎn)的位置.

1)在直角坐標(biāo)系中,畫出平移后所得(其中分別是、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)).

2)(1)中所得的點(diǎn),的坐標(biāo)分別是________,________

3)直接寫出的面積為________

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案