【題目】(1) 知識儲備
①如圖 1,已知點(diǎn) P 為等邊△ABC 外接圓的弧BC 上任意一點(diǎn).求證:PB+PC= PA.
②定義:在△ABC 所在平面上存在一點(diǎn) P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱點(diǎn) P 為△ABC
的費(fèi)馬點(diǎn),此時 PA+PB+PC 的值為△ABC 的費(fèi)馬距離.
(2)知識遷移
①我們有如下探尋△ABC (其中∠A,∠B,∠C 均小于 120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法:
如圖 2,在△ABC 的外部以 BC 為邊長作等邊△BCD 及其外接圓,根據(jù)(1)的結(jié)論,易知線段____的長度即為△ABC 的費(fèi)馬距離.
②在圖 3 中,用不同于圖 2 的方法作出△ABC 的費(fèi)馬點(diǎn) P(要求尺規(guī)作圖).
(3)知識應(yīng)用
①判斷題(正確的打√,錯誤的打×):
ⅰ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(__________);
ⅱ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部(__________).
②已知正方形 ABCD,P 是正方形內(nèi)部一點(diǎn),且 PA+PB+PC 的最小值為,求正方形 ABCD 的
邊長.
【答案】 AD √ ×
【解析】分析:(1)根據(jù)已知首先能得到△PCE為等邊三角形,進(jìn)而得出△ACE≌△BPC,即可得證;
(2)①仔細(xì)閱讀新知的概念,結(jié)合圖形特點(diǎn),直接有結(jié)論判斷即可;
②根據(jù)尺規(guī)作圖,作等邊三角形即可求得費(fèi)馬點(diǎn);
(3)①ⅰ.根據(jù)作圖可知費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個,ⅱ.由圖1和圖2,可知任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)不一定都在三角形的內(nèi)部;
②將△ABP沿點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1,過A1作A1H⊥BC,交CB的延長線于H,連接P1P,根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì),得到△P1PB是正三角形,進(jìn)而得出∠A1BH=30°,然后由正方形的性質(zhì)和30°角直角三角形的性質(zhì),根據(jù)勾股定理求出正方形的邊長.
詳解:(1)①證明:在PA上取一點(diǎn)E,使PE=PC,連接CE,
∵正三角形ABC
∴∠APC=∠ABC=60°
又∵PE=PC,∴△PEC是正三角形
∴CE=CP ∠ACB=∠ECP=60°
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4 BC=AC
∴△ACE≌△BCP (ASA)
∴AE=BP
即:BP+CP=AP.
(2)①線段 AD 的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離.
②過AB和AC分別向外作等邊三角形,連接CD,BE,
交點(diǎn)即為P0.
(3)①ⅰ.( √ ) ②ⅱ.( × )
②解:將△ABP沿點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1,
過A1作A1H⊥BC,交CB的延長線于H,連接P1P,
易得:A1B=AB,PB=P1B,PA=P1 A1,∠P1BP=∠A1BA=60°
∵PB=P1B ∠P1BP=60°
∴△P1PB是正三角形
∴PP1=PB
∵PA+PB+PC的最小值為
∴P1A1+PP1+PC的最小值為
∴A1,P1,P,C在同一直線上,即A1C=
設(shè)正方形的邊長為2x
∵∠A1BA=60° ∠CBA=90°
∴∠1=30°
在Rt△A1HB中,A1B=AB=2x,∠1=30°
得:A1H=x,BH=
在Rt△A1HC中,由勾股定理得:
解得:x1=1 x2=1(舍去)
∴正方形ABCD的邊長為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,世博園段的浦江兩岸互相平行,C、D是浦西江邊間隔200m的兩個場館.海寶在浦東江邊的寶鋼大舞臺A處,測得∠DAB=30°, 然后沿江邊走了500m到達(dá)世博文化中心B處,測得∠CBF=60°, 求世博園段黃浦江的寬度(結(jié)果可保留根號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊CD上,AQ⊥BE于點(diǎn)Q,DP⊥AQ于點(diǎn)P.
(1)求證:AP=BQ;
(2)在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中四對線段,使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張浩調(diào)查統(tǒng)計了他們家5月份每次打電話的通話時長,并將統(tǒng)計結(jié)果進(jìn)行分組(每組含量最小值,不含最大值),將分組后的結(jié)果繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖,則下列說法中不正確的是( )
A. 張浩家5月份打電話的總頻數(shù)為80次
B. 張浩家5月份每次打電話的通話時長在5﹣10分鐘的頻數(shù)為15次
C. 張浩家5月份每次打電話的通話時長在10﹣15分鐘的頻數(shù)最多
D. 張浩家5月份每次打電話的通話時長在20﹣25分鐘的頻率為6%
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于一個函數(shù),如果它的自變量 x 與函數(shù)值 y 滿足:當(dāng)1≤x≤1 時,1≤y≤1,則稱這個函數(shù)為“閉 函數(shù)”.例如:y=x,y=x 均是“閉函數(shù)”. 已知 y ax2 bx c(a0) 是“閉函數(shù)”,且拋物線經(jīng)過點(diǎn) A(1,1)和點(diǎn) B(1,1),則 a 的取值范圍是______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AF=BE,AE與DF相交于點(diǎn)O.
(1)求證:△DAF≌△ABE;
(2)寫出線段AE、DF的數(shù)量和位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,線段AB在x軸的正半軸上移動,且AB=1,過點(diǎn)A、B作y軸的平行線分別交函數(shù)y1=(x>0)與y2=(x>0)的圖像于C、E和D、F,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m (m>0).
(1)連接OC、OE,則△OCE面積為 ;
(2)連接CF,當(dāng)m為何值時,四邊形ABFC是矩形;
(3)連接CD、EF,判斷四邊形CDFE能否是平行四邊形,并說明理由;
(4)如圖2,經(jīng)過點(diǎn)B和y軸上點(diǎn)G(0,4)作直線BG交直線AC于點(diǎn)H,若點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為正整數(shù),請求出整數(shù)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在線段AB上,點(diǎn)D在CB的延長線上,
(1)試證明△DEC是等腰三角形;(2)在圖中找出與AE相等的線段,并證明
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(﹣1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)9a+c>﹣3b;(3)7a﹣3b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3,y1)、點(diǎn)B(﹣,y2)、點(diǎn)C(7,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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