Question

【題目】如圖：在等邊三角形ABC中，點E在線段AB上，點D在CB的延長線上，

（1）試證明△DEC是等腰三角形；（2）在圖中找出與AE相等的線段，并證明

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BD=AE，證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB，由三角形外角的性質(zhì)可得∠ABC=∠D+∠DEB，再根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠ACE=∠DEB，推得∠D=∠ECB即可得到結(jié)論；

(2)圖中BD=AE，證明過程為：在AC上截取AF=AE，則可得△AEF是等邊三角形，通過推導得出BE=CF，AE=EF，∠EFC=∠DBE，然后利用ASA證明△DEB≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等量代換即可得.

(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵∠ABC是△DBE的外角，

∴∠ABC=∠D+∠DEB，

∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠ACE=∠DEB，

∴∠D=∠ECB，

∴ED=EC，

即△DEC是等腰三角形；

(2)BD=AE，證明如下：

如圖，在AC上截取AF=AE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=60°，AB=AC，

∴∠EBD=120°，AB-AE=AC-AF，△AEF是等邊三角形，

∴BE=CF，AE=EF，∠AFE=60°，

∴∠EFC=120°，

∴∠EFC=∠DBE，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DEB≌△ECF，

∴BD=EF，

∴BD=AE.