Question

【題目】在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△DBE．

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)成如圖①，點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，則∠CED的度數(shù)是　 　度；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)成如圖②，連接AD、CE，若△ABD的面積為4，求△CBE的面積；

（3）點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，連接MP′，如圖③，直接寫出線段MP′長(zhǎng)度的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）S△CBE=；（3）線段MP'的最大值為7，最小值為﹣2．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DEC=45°，再由等邊對(duì)等角得∠BEC=45°，則∠CED=90°；

（2）由△ABC≌△DBE得出BA=BD，BC=BE，進(jìn)而得出，證明△ABD∽△CBE，根據(jù)面積比等于相似比的平方求出△CBE的面積；

（3）作輔助線，當(dāng)點(diǎn)P在F處時(shí)BP最小，則BG最小，MP'最小；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，BP最大，則BH最大，MP'最大，代入計(jì)算即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）由旋轉(zhuǎn)得：∠DEB=∠ACB=45°，BC=BE，∴∠ACB=∠BEC=45°，∴∠CED=90°．故答案為：90；

（2）∵△ABC≌△DBE，∴BA=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，∴．∵∠ABD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴=（）2=．∵S△ABD=4，∴S△CBE=；

（3）∵M是AB的中點(diǎn)，∴BM=AB=2．如圖③，過點(diǎn)B作BF⊥AC，F為垂足．∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn)F在線段AC上．在Rt△BCF中，BF=BC×sin45°=，以B為圓心，BF為半徑畫圓交AB于G，BP'有最小值BG，∴MP'的最小值為MG=BG﹣BM=﹣2，以B為圓心，BC為半徑畫圓交AB的延長(zhǎng)線于H，BP'有最大值BH．此時(shí)MP'的最大值為BM+BH=2+5=7，∴線段MP'的最大值為7，最小值為﹣2．