Question

拋物線y=ax²-2ax+b（a＞0）交x軸于A，B兩點，交y軸于C；且滿足OA•OB-OC=0，若C（0，-3）
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，將此拋物線頂點沿直線y=-x-3平移，平移后的拋物線與x軸交于A′、B′兩點  若2≤A′B′≤6，試求出點M的橫坐標的取值范圍；
（3）過點C的直線y=

3

4t

x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=

2

t，且0＜t＜1．依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設A點坐標為（x₁，0），（x₂，0），利用圖象求出b的值，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出a的值，即可求出函數(shù)解析式．
（2）設出M點坐標，得到平移后的拋物線，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出m的取值范圍．
（3）先假設存在，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出t的值即存在，若不存在t，則不存在．

解答：解：（1）設A點坐標為（x₁，0），（x₂，0）．
∵OA•OB-OC=0，
∴|x₁x₂|-3=0，
則|x₁x₂|=3，
又∵x₁＜0，x₂＞0，
∴x₁x₂＜3，
∴

b

a

＜3，
又∵b=-3，
∴

-3

a

=-3，
∴a=1，
故函數(shù)解析式為y=x²-2x-3．

（2）設M（m，-m-3），平移后拋物線y=（x-m）²-m-3，
當A′B′=2時利用根與系數(shù)關系可得M點橫坐標x=-2，
當A′B′=6時利用根與系數(shù)關系可得M點橫坐標x=6，
故-2≤x≤6．

（3）當H在QB之間：
①△COQ∽△QHP，t=

9

20

；
②△COQ∽△PHQ，t=

-15+3 41

8

，
當H在OQ之間：
∵PH∥OQ，
∴當Q與B重合時，△COQ∽△PHQ，t=

3

4

．

點評：此題考查了拋物線與直線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)和根與系數(shù)的關系，綜合性較強，解答時要注意數(shù)形結合．