Question

【題目】（問(wèn)題）

在中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上（除外），分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作和的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系.

（探究發(fā)現(xiàn)）

某數(shù)學(xué)興趣小組在探究，的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，只需要取邊的中點(diǎn)（如圖1），通過(guò)推理證明就可以得到和的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你按照這種思路直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系；

（數(shù)學(xué)思考）

那么點(diǎn)在直線(xiàn)上（除外）（其他條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？

請(qǐng)你從“點(diǎn)在線(xiàn)段上”“點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上”“點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫(huà)出圖形，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）仍然成立.

.

【解析】

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】取中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形全等的判定即可證明，即可得出和的數(shù)量關(guān)系;

(2)【數(shù)學(xué)思考】分三種情況討論:

①若點(diǎn)在線(xiàn)段上， 在AC上截取，連接;

②若點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，在AC反向延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，連接;

③若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，連接;

根據(jù)三角形全等的判定即可證明，即可得出和的數(shù)量關(guān)系.

（1）和的數(shù)量關(guān)系為：.

理由：如圖1，取中點(diǎn)，連接，

中，，，

，， 是等腰直角三角形，

，，

，，

，，

在和中

，

.

（2）①如圖2，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，在上截取，連接，

，

在和中

，

.

②如圖3，若點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，在反向延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，連接，

在和中

.

③如圖4，若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，連接，

在和中

.