【題目】如圖,已知A(﹣2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣1A、B兩點(diǎn),并與過A點(diǎn)的直線y=﹣x﹣1交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及對(duì)稱軸;

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ACPO的周長最?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;

(3)點(diǎn)My軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)M作直線AC的垂線,垂足為N.問:是否存在這樣的點(diǎn)N,使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似,若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為:y=,拋物線對(duì)稱軸為直線x=1;(2)存在P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣);(3)N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣3)或(2,﹣1)

【解析】(1)由待定系數(shù)法求解即可;

(2)將四邊形周長最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可;

(3)利用相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行分類討論,構(gòu)造圖形.設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo),表示點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線解析式即可.

(1)把A(-2,0),B(4,0)代入拋物線y=ax2+bx-1,得

解得

∴拋物線解析式為:y=x2x1

∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=-=1

(2)存在

使四邊形ACPO的周長最小,只需PC+PO最小

∴取點(diǎn)C(0,-1)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′(2,-1),連C′O與直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn).

設(shè)過點(diǎn)C′、O直線解析式為:y=kx

∴k=-

∴y=-x

則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-

(3)當(dāng)△AOC∽△MNC時(shí),

如圖,延長MN交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E

∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似,∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵M(jìn)N⊥AC

∴M、D關(guān)于AN對(duì)稱,則N為DM中點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(a,-a-1)

由△EDN∽△OAC

∴ED=2a

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,-a1)

∵N為DM中點(diǎn)

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為(2a,a1)

把M代入y=x2x1,解得

a=4

則N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3)

當(dāng)△AOC∽△CNM時(shí),∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′即為點(diǎn)N

由(2)N(2,-1)

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3)或(2,-1)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等

B.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

C.三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等

D.以上均不正確

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(1)當(dāng)n45時(shí)(如圖2),小明測(cè)得∠ABC65°,請(qǐng)根據(jù)小明的測(cè)量結(jié)果,求∠ABD的大。

(2)當(dāng)n≠45時(shí),將△ABD沿AB翻折,得到△ABD′(如圖3),小明和小亮發(fā)現(xiàn)∠D′BC的大小與角度n有關(guān),請(qǐng)找出它們的關(guān)系,并說明理由;

(3)如圖4,在(2)問的基礎(chǔ)上,過點(diǎn)BAD′的垂線,垂足為點(diǎn)E,延長AE到點(diǎn)F,使得EF(AD+AC),連接BF,請(qǐng)判斷△ABF的形狀,并說明理由.

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1)填空:圖中,

2)若這只螞蟻從A處去M處的螞蟻的行走路線依次為,,,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(________,________);

3)若圖中另有兩個(gè)格點(diǎn)Р、Q,且,,則從QA記為________________

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(2)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn),求線段DE的最小值.

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(1)補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

(2)填空:在這個(gè)問題中,總體是___________,樣本是_________

由統(tǒng)計(jì)分析得,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是39.37(分),眾數(shù)是______,中位數(shù)是______

(3)如果描述該校300名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉時(shí)間的總體情況,你認(rèn)為用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一個(gè)量比較合適?

(4)估計(jì)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)有多少名學(xué)生,平均每天參加課外鍛煉的時(shí)間多于30分鐘?

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