Question

【題目】如圖，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D 是 AC 邊上一動(dòng)點(diǎn)， CE⊥BD 于 E．

(1)如圖（1），若 BD 平分∠ABC 時(shí)，①求∠ECD 的度數(shù)；②求證：BD＝2EC；

(2)如圖（2），過點(diǎn) A 作 AF⊥BE 于點(diǎn) F，猜想線段 BE，CE，AF 之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)①22.5°;②見解析;(2) BE﹣CE＝2AF,理由見解析.

【解析】

(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CBA=45,再利用角平分線的定義解答即可;

②延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G得出CE=GE,再利用AAS證明ΔABD≌ΔACG,利用全等三角形的性質(zhì)解答即可;

(2)過點(diǎn)A作AH⊥AE,交BE于點(diǎn)H,證明ΔABH≌ΔACE,進(jìn)而得出CE=BH,利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

解：（1）①∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠CBA＝45°，

∵BD 平分∠ABC，

∴∠DBA＝22.5°，

∵CE⊥BD，

∴∠ECD+∠CDE＝90°，∠DBA+∠BDA＝90°，

∵∠CDE＝∠BDA，

∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°；

②延長(zhǎng) CE 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，如圖 1：

∵BD 平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE＝GE，

在△ABD 與△ACG 中，

,

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD＝CG＝2CE；

（2）結(jié)論：BE﹣CE＝2AF．

過點(diǎn) A 作 AH⊥AE，交 BE 于點(diǎn) H，如圖 2：

∵AH⊥AE，

∴∠BAH+∠HAC＝∠HAC+∠CAE，

∴∠BAH＝∠CAE，

在△ABH 與△ACE 中，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE＝BH，AH＝AE，

∴△AEH 是等腰直角三角形，

∴AF＝EF＝HF，

∴BE﹣CE＝2AF．