Question

【題目】在正方形ABCD中，點P是直線BC上的一點，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，連接CE．

（1）如圖1，點P在線段CB的延長線上．

①請根據(jù)題意補全圖形；

②用等式表示BP和CE的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（2）若點P在射線BC上，直接寫出CE，CP，CD三條線段的數(shù)量關(guān)系為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②CE＝BP，證明詳見解析；（2）CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP）�。�

【解析】

（1）①據(jù)題意補全圖形即可；

②作EM⊥BC于M，證明△ABP≌△PME（AAS），得出AB＝PM，BP＝ME，證明△CEM是等腰直角三角形，得出CE＝ME，即可得出結(jié)論；

（2）①當(dāng)點P在線段BC上時，在BA上截取BM＝BP．則△PBM是等腰直角三角形，證明△PCE≌△AMP（SAS），得出CE＝PM，即可得出結(jié)論；

②當(dāng)點P在線段BC的延長線上時，在BA上截取BM＝BP．則△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．證明△PCE≌△AMP（SAS），得出CE＝PM，即可得出結(jié)論．

解：（1）①據(jù)題意補全圖形，如圖1所示：

②CE＝BP，理由如下：

作EM⊥BC于M，如圖2所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：PE＝PA，∠APE＝90°，

即∠APB+∠EPM＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABP＝90°，

∴∠APB+∠PAB＝90°，

∴∠PAB＝∠EPM，

在△ABP和△PME中， ，

∴△ABP≌△PME（AAS），

∴AB＝PM，BP＝ME，

∴PM＝BC，

∴BP＝CM＝ME，

∴△CEM是等腰直角三角形，

∴CE＝ME，

∴CE＝BP；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)點P在線段BC上時，CE＝（CD﹣CP），理由如下：

在BA上截取BM＝BP，連接PM，如圖3所示：

則△PBM是等腰直角三角形，

∴PM＝BP，∠BMP＝∠BPM＝45°，

∵AB＝BC，

∴AM＝PC，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：PE＝PA，∠APE＝90°，

∴∠APM+∠CPE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

又∵∠MAP+∠APM＝∠BMP＝45°，

∴∠MAP＝∠CPE，

在△PCE和△AMP中，，

∴△PCE≌△AMP（SAS），

∴CE＝PM，

∵CD﹣PC＝BC﹣PC＝BP，

∴CE＝PM＝BP＝（CD﹣CP）；

②當(dāng)點P在線段BC的延長線上時，CE＝（CD+CP），理由如下：

在BA上截取BM＝BP，連接PM，如圖4所示：

則△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠DAM＝∠BAD＝90°，AD∥BC，

∴AM＝PC，∠DAP＝∠APB，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：PE＝PA，∠APE＝90°，

∴∠PAM＝∠EPC，

在△PCE和△AMP中，，

∴△PCE≌△AMP（SAS），

∴CE＝PM，

∵CD+CP＝BC+CP＝BP，

∴CE＝PM＝BP＝（CD+CP）；

故答案為：CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP）．