【題目】已知:四邊形ABCD是正方形,E是AB邊上一點,F(xiàn)是BC延長線上一點,且DE=DF.
(1)如圖1,求證:DF⊥DE;
(2)如圖2,連接AC,EF交于點M,求證:M是EF的中點.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠DAE=∠DCB=90°.
∴∠DCF=180°﹣90°=90°.
∴∠DAE=∠DCF.
在Rt△DAE和Rt△DCF中, ,
∴Rt△DAE≌Rt△DCF(HL).
∴∠ADE=∠CDF,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDF+∠CDE=90°,
即∠EDF=90°,
∴DF⊥DE
(2)證明;過點F作GF⊥CF交AC的延長線于點G,
則∠GFC=90°.
∵正方形ABCD中,∠B=90°,
∴∠GFC=∠B.
∴AB∥GF.
∴∠BAC=∠G.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA=45°.
∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°.
∴FC=FG.
∵△DAE≌△DCF,
∴AE=CF.
∴AE=FG.
在△AEM和△GFM中, ,
∴△AEM≌△GFM(AAS).
∴ME=MF.
即M是EF的中點
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得出DA=DC,∠DAE=∠DCB=90°.得出∠DAE=∠DCF.由HL證明Rt△DAE≌Rt△DCF,得出∠ADE=∠CDF,證出∠EDF=90°即可;(2)證明;過點F作GF⊥CF交AC的延長線于點G,則∠GFC=90°.AB∥GF.得出∠BAC=∠G.由正方形的性質(zhì)證出FC=FG.得出AE=FG.由AAS證明△AEM≌△GFM,得出ME=MF即可.
【考點精析】利用正方形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家商店把某種“大運”紀(jì)念品按成本價提高50%后標(biāo)價,又以8折(即按標(biāo)價的80%優(yōu)惠售出,結(jié)果每件仍獲利2.4元,則這種紀(jì)念品的成本是
A.3元B.4.8元C.6元D.12元
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,邊AB的長為3,點E,F(xiàn)分別在AD,BC上,連接BE,DF,EF,BD.若四邊形BFDE是菱形,且OE=AE,則邊BC的長為( )
A.2
B.3
C.
D.6
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【題目】如圖,AB是⊙O的弦,D為OA半徑的中點,過D作CD⊥OA交弦AB于點E,交⊙O于點F,且CE=CB.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)連接AF,BF,求∠ABF的度數(shù);
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,∠ABC=60°,點E,F(xiàn)分別在CD和BC的延長線上,AE∥BD,EF⊥BC,CF= .
(1)求證:四邊形ABDE是平行四邊形;
(2)求AB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖1,在面積為3的正方形ABCD中,E、F分別是BC和CD邊上的兩點,AE⊥BF于點G,且BE=1.
(1)求證:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重疊部分(即△BEG)的面積;
(3)現(xiàn)將△ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB′E′(如圖2),使點E落在CD邊上的點E′處,問△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l上兩點A、B(點A在點B左邊),且AB=10cm,在直線l上增加兩點C、D(點C在點D左邊),作線段AD點中點M、作線段BC點中點N;若線段MN=3 cm,則線段CD=_______cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D是△ABC內(nèi)一點,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點,則四邊形EFGH的周長是( )
A.7
B.9
C.10
D.11
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