Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，過點C作直線l∥AB，F(xiàn)是l上的一點，且AB=AF，則點F到直線BC的距離為

 

．

Answer 1

考點：等腰直角三角形,平行線之間的距離,含30度角的直角三角形

專題：分類討論

分析：如圖，延長AC，做FD⊥BC交點為D，F(xiàn)E⊥AC，交點為E，可得四邊形CDFE是正方形，則，CD=DF=FE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，所以，可求出AC=2，AB=2

2

，又AB=AF；所以，在直角△AEF中，可運用勾股定理求得DF的長即為點F到BC的距離．

解答：解：（1）如圖，延長AC，作FD⊥BC交點為D，F(xiàn)E垂直AC延長線于點E，
∵CF∥AB，∴∠FCD=∠CBA=45°，
∴四邊形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，AB=AF，
∴AB=

AC2+BC2

=2

2

，
∴AF=2

2

；
∴在直角△AEF中，（2+EC）²+EF²=AF²
∴（2+DF）²+DF²=（ 2

2

）²，
解得，DF=

3

-1；

（2）如圖，延長BC，做FD⊥BC，交點為D，延長CA，做FE⊥CA于點E，
同理可證，四邊形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
同理可得，在直角△AEF中，（EC-2）²+EF²=AF²，
∴（FD-2）²+FD²=（ 2

2

）²，
解得FD=

3

+1．
故答案為

3

-1或

3

+1．

點評：本題考查了勾股定理的運用，通過添加輔助線，可將問題轉化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學生的空間想象能力．