Question

如圖，已知拋物線y=ax²+4ax+t（a＞0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點B的坐標為（-1，0）．
（1）求此拋物線的對稱軸及點A的坐標；
（2）過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形嗎？請證明你的結(jié)論；
（3）連結(jié)AC，BP，若AC⊥BP，試求此拋物線的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用配方法求出拋物線對稱軸即可，再利用二次函數(shù)對稱性得出A點坐標；
（2）首先得出CP=AB，再利用平行四邊形的判定方法一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出即可；
（3）利用菱形的判定與性質(zhì)得出C點坐標，進而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．

解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+t=a（x+2）²+t-2，
∴拋物線的對稱軸是直線x=-2，
設點A的坐標為（x，0），
∵

-1+x

2

=-2，∴x=-3，
∴A的坐標（-3，0）；

（2）四邊形ABCP是平行四邊形．
理由：
∵拋物線的對稱軸是直線x=-2，∴CP=2．
又∵AB=2，∴CP=AB．
又∵CP∥AB，∴四邊形ABCP是平行四邊形；

（3）∵AC⊥BP，∴平行四邊形ABCP是菱形．
∴BC=AB=2．
又∵OB=1，∴OC=

3

．∴C（0，

3

）．
將B（-1，0），C（0，

3

）代入y=ax²+4ax+t，得：

a-4a+t=0 t= 3

，
解得：

a= 3 3 t= 3

，
∴此拋物線的解析式為：y=

3

3

x²+

4 3

3

x+

3

．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)等知識，得出C點坐標是解題關鍵．