Question

已知：二次函數(shù)y=x²+bx+8的圖象與x軸交于點A（-2，0）．
（1）求二次函數(shù)y=x²+bx+8的圖象與x軸的另一個交點B及頂點M的坐標(biāo)；
（2）點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿水平方向向右運動，同時點Q從點M出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿豎直方向向下運動，當(dāng)點P運動到原點O時，P、Q同時停止運動．點C、點D分別為點P、點Q關(guān)于原點的對稱點，設(shè)四邊形PQCD的面積為S，運動時間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式（不必寫出t的取值范圍）；
（3）在（2）的運動過程中，四邊形PQCD能否形成矩形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先應(yīng)用待定系數(shù)法求得解析式，然后解方程求得與坐標(biāo)軸的交點，把二次函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點式即可求得頂點坐標(biāo)．
（2）先證得四邊形PQCD是平行四邊形，然后根據(jù)已知條件表示出PC、QN，因為平行四邊形的面積S=2S_△PCQ，即可求得．
（3）由（2）可知四邊形是平行四邊形，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可求得t的值．

解答：解：（1）∵y=x ²+bx+8的圖象與x軸交于點A（-2，0）
∴b=6
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x ²+6x+8
令y=0，得x ²+6x+8=0，
解得x₁=-2，x₂=-4，
∴B（-4，0），
y=x ²+6x+8
=（x+3）²-1，
∴頂點M（-3，-1），

（2）∵點C、點D分別為點P、點Q關(guān)于原點的對稱點
∴OP=OC，OD=OQ
∴四邊形PQCD是平行四邊形
BP=t，OP=4-t，PC=2OP=8-2t
作QN⊥x軸于點N，
∵點Q從點M出發(fā)，沿豎直向下方向運動
∴點M必在QN上
MN=1，MQ=2t，QN=1+2t，
S=2S_△PCQ=（ 8-2t ）（ 1+2t ）=-4 t ²+14t+8，

（3）在（2）的運動過程中，四邊形PQCD能形成矩形，
由（2）知四邊形PQCD是平行四邊形，當(dāng)對角線PC=DQ時，四邊形PQCD是矩形
∴OP=OQ，OP ²=OQ ²=ON ²+QN ²
∴（ 4-t ） ²=3 ²+（ 1+2t ） ²
∴t ²+4t-2=0，
解得：t₁=

6

-2，t₂=-

6

-2（舍去），
∴在運動過程中四邊形PQCD可以形成矩形，此時t的值為（

6

-2）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式以及拋物線與坐標(biāo)軸的交點，拋物線的頂點式，平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定等．