Question

【題目】已知如圖，在以為原點的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，連接，，直線過點且平行于軸，，

求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；

若為拋物線上一動點，是否存在直線使得點到直線的距離與的長恒相等？若存在，求出此時的值；

如圖，若、為上述拋物線上的兩個動點，且，線段的中點為，求點縱坐標(biāo)的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)2.

【解析】

(1)根據(jù)點C坐標(biāo),可得c=-1,然后根據(jù)AO=2CO,可得出點A坐標(biāo),將點A坐標(biāo)代入求出b值,即可得出函數(shù)解析式;
(2)假設(shè)存在直線l使得點D到直線l的距離與OD的長恒相等,設(shè)出點D坐標(biāo),分別求出OD和點D到直線l的距離,然后列出等式求出t的值;
(3)作EN⊥直線l于點G,FH⊥直線l于點H,設(shè)出點E、F坐標(biāo),表示出點M的縱坐標(biāo),根據(jù)(2)中得出的結(jié)果,代入結(jié)果求出M縱坐標(biāo)的最小值.

∵，
∴，
又∵，
∴點坐標(biāo)為，
代入得：，
解得：，
∴解析式為：；

假設(shè)存在直線使得點到直線的距離與的長恒相等，
設(shè)，
則，
點到直線的距離：，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故當(dāng)時，直線使得點到直線的距離與的長恒相等；

作直線于點，直線于點，

設(shè)，，
則，，
∵為中點，
∴縱坐標(biāo)為：，
由得：，，
∴，
要使縱坐標(biāo)最小，即最小，
當(dāng)過點時，最小，最小值為，
∴縱坐標(biāo)最小值為．