Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M為x軸正半軸上一點，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，P是AB延長線上的一點，過P點作⊙O的切線，切點為C，連結(jié)AC，交y軸于點E．若D點的坐標為（0，1），B點的坐標為（3，0）．

（1）求M點的坐標；
（2）若∠CPA=30°，求CE的長；
（3）在（2）的條件下若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點Q．過C、Q、P作⊙N，弦FQ⊥PQ，試找出線段CQ，F(xiàn)Q，PQ之間的固定的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作輔助線，利用點的坐標與線段長之間的關(guān)系及射影定理即可解決問題；
（2）作輔助線，運用切線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系等知識解決問題；
（3）作輔助線，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理及直角三角形的邊角關(guān)系解決問題．

解答：解：（1）如圖1，連接AD、BD；
∵AB為⊙M的直徑，
∴AD⊥BD；
又∵DO⊥AB，
∴DO²=A0•BO；
而B、D兩點的坐標分別為（3，0）、（0，1），
∴OD=1，OB=3；
故AO=

1

3

，AB=3+

1

3

=

10

3

，AM=

5

3

，OM=

4

3

，
∴點M的坐標為(

4

3

，0)

（2）連接CB、CM；
∵CP為⊙M的切線，
∴CM⊥PC，
又∵∠CPA=30°，
∴∠CMO=90°-30°=60°；
∵MC=MB，
∴△MBC是等邊三角形
故∠ABC=60°，∠CAB=30°；
∵cos30°=

AC

AB

，cos30°=

AO

AE

，
∴AC=

10

3

×

3

2

=

5 3

3

，AE=

AO

cos30°

=

1

3

×

2

3

=

2 3

9

；
∴CE=AC-AE=

5 3

3

-

2 3

9

=

13 3

9

．

（3）如圖2，連接FP；過點P作PG⊥QC，交QC的延長線于點G；
由（2）可知∠QCP=120°；
又∵PQ平分∠CPA，
∴∠CPQ=15°，
故∠CQP=180°-120°-15°=45°；
∴∠QPC=90°-45°=45°，
故∠CQP=∠QPG，
∴QG=PG（設(shè)為x），
故QP=

x2+x2

=

2

x；
在直角△PCG中：
∵∠PCG=180°-120°=60°，∠CPG=30°，
∴tan30°=

CG

PG

，
故CG=

3

3

x，QC=x-

3

3

x；   
∵圓內(nèi)接四邊形對角互補，
∴∠QFP=180°-120°=60°；
∴tan60°=

QP

QF

，
故QF=

3

3

QP=

3

3

×

2

x=

6

3

x；
∴

2

QC=

2

(x-

3

3

x)=

2

x-

6

3

x，
而PQ=

2

x，
∴PQ=FQ+

2

CQ

點評：該命題是一道有關(guān)圓的綜合性命題；綜合考查了等邊三角形的判定及其應(yīng)用、射影定理、圓的切線的性質(zhì)及其應(yīng)用；勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用等知識點；對幾何知識的綜合運用能力提出了較高的要求．