【題目】已知:正方形紙片ABCD的邊長為4,將該正方形紙片沿EF折疊(E,F(xiàn)分別在AB,CD邊上),使點B落在AD邊上的點M處,點C落在點N處,MN與CD交于點P.
(1)如圖①,連接PE,若M是AD邊的中點.
①寫出圖中與△PMD相似的三角形.
②求△PMD的周長.
(2)如圖②,隨著落點M在AD邊上移動(點M不與A、D重合),△PDM的周長是否發(fā)生變化?請說明你的理由.
【答案】
(1)
解:①依據(jù)翻折的性質(zhì)可知∠EMP=∠B=90°,∠C=∠N=90°
∴∠AME+∠PMD=90°.
又∵∠AME+∠AEM=90°,
∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D,
∴△AME∽△DPM.
∵∠MPD=∠FPN,∠D=∠N=90°
∴△MPD∽△FPN.
∵△AME∽△DPM,
∴ .
又∵AM=MD,
∴ .
又∵∠EMP=∠D=90°,
∴△EMP∽△MDP.
所以有:△AME∽△DPM,△AME∽△DPM,△EMP∽△MDP.
②∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB=4.
∵點M是AD邊中點,
∴AM=DM=2.
由折疊的性質(zhì)得:ME=BE,
∴△MEA的周長為6.
在Rt△MEA中,設(shè)AE=x,則ME=4﹣x.
∴x2+22=(4﹣x)2,解得:x= .
∵△PMD∽△MEA,
∴ = = ,即 .
∴△PMD的周長為8
(2)
解:△PMD的周長不變.
設(shè)AM=m,AE=n,則DM=4﹣m,EM=4﹣n,△AEM的周長=4+m.
在Rt△AME中,依據(jù)勾股定理可知:m2+n2=(4﹣n)2,即8n=16﹣m2.
∵△PMD∽△MEA,
∴ = .
∴△PMD的周長= = = =8
【解析】(1)①依據(jù)兩組角對應(yīng)相等的三角形相似可證明△AEM∽△DMP,△PFN∽△PMD,然后依據(jù)兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明△EMP∽△MDP即可;②設(shè)AE=x,則EM=4﹣x,在Rt△AEM中,依據(jù)勾股定理可求得x的值,然后可求得△AEM的周長,然后依據(jù)相似三角形的周長比等于相似比求解即可;(2)設(shè)AM=m,AE=n,則DM=4﹣m,EM=4﹣n.在Rt△AEM中,依據(jù)勾股定理和完全平方公式可得到8n=16﹣m2 , 然后可△PMD∽△MEA可求得△PMD的周長.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用翻折變換(折疊問題)和相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和角相等;測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先化簡,再求值:
(1)(3a2-ab+7)-(5ab-4a2+7),其中, a=2,b=;
(2)3(ab-5b2+2a2)-(7ab+16a2-25b2),其中|a-1|+(b+1)2=0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】谷歌人工智能AlphaGo機器人與李世石的圍棋挑戰(zhàn)賽引起人們的廣泛關(guān)注,人工智能完勝李世石.某教學(xué)網(wǎng)站開設(shè)了有關(guān)人工智能的課程并策劃了A,B兩種網(wǎng)上學(xué)習(xí)的月收費方式:
收費 方式 | 月使用費(元) | 包時上網(wǎng) 時間(h) | 超時費(元/min) |
A | 7 | 25 | 0.6 |
B | 10 | 50 | 0.8 |
設(shè)小明每月上網(wǎng)學(xué)習(xí)人工智能課程的時間為x小時,方案A,B的收費金額分別為yA元,yB元.
(1)當(dāng)x≥50時,分別求出yA,yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若小明3月份上該網(wǎng)站學(xué)習(xí)的時間為60小時,則他選擇哪種方式上網(wǎng)學(xué)習(xí)合算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在一張長方形紙條上畫一條數(shù)軸.
(1)折疊紙條使數(shù)軸上表示的點與表示5的點重合,折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù)是 ;
(2)如果數(shù)軸上兩點之間的距離為8,經(jīng)過(1)的折疊方式能夠重合,那么左邊這個點表示的數(shù)是 ;
(3)如圖2,點A、B表示的數(shù)分別是、,數(shù)軸上有點C,使得AC=2BC,那么點C表示的數(shù)是 ;
(4)如圖2,若將此紙條沿A、B兩處剪開,將中間的一段紙條對折,使其左右兩端重合,這樣連續(xù)對折次后,再將其展開,求最左端的折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù).(用含的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,E為斜邊AB的中點,點P是射線BC的一個動點,連接AP、PE,將△AEP沿著邊PE疊,折疊后得到△EPA,當(dāng)折疊后△EPA與△BEP的重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一,則BP的長__________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠B=90°,且AD=9cm,AB=4cm,延長BC到點E,使CE=3cm,連接DE.若動點P從A點出發(fā),以每秒2cm的速度沿線段AD運動;動點Q從E點出發(fā)以每秒3cm的速度沿EB向B點運動,當(dāng)點P、Q有一個到位置時,動點P、Q同時停止運動,設(shè)點P、Q同時出發(fā),并運動了t秒,回答下列問題:
(1)求DE的長
(2)當(dāng)t為多少時,四邊形PQED成為平行四邊形;
(3)請直接寫出使得△DQE是等腰三角形時t的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,點M、N分別在AB、AD邊上,若AM:MB=AN:ND=1:2,則tan∠MCN=( )
A.
B.
C.
D. ﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點A(2,0)和B(t,0)(t≥2),與y軸交于點C,直線l:y=x+2t經(jīng)過點C,交x軸于點D,直線AE交拋物線于點E,且有∠CAE=∠CDO,作CF⊥AE于點F.
(1)求∠CDO的度數(shù);
(2)求出點F坐標(biāo)的表達(dá)式(用含t的代數(shù)式表示);
(3)當(dāng)S△COD﹣S四邊形COAF=7時,求拋物線解析式;
(4)當(dāng)以B,C,O三點為頂點的三角形與△CEF相似時,請直接寫出t的值.
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