【題目】如圖,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,⊙D與BC、AC、AB都相切,切點分別是E、F、G,BA、ED的延長線交于點H,a、b是關于x的方程x2﹣(c+4)x+4c+8=0的兩個根.
(1)求證:△ABC是直角三角形;
(2)若25asin∠BAC=9c,求四邊形CEDF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)36.
【解析】
(1)根據根與系數的關系得到a+b=c+4,ab=4c+8,把第一等式兩邊平方后把第二個等式代入得到a2+b2=c2,根據勾股定理的逆定理即可得到結論;
(2)由25asin∠BAC=9c,即sin∠BAC=,再根據三角函數定義得sin∠BAC=,則3c=5a,設c=5x,則a=3x,b=4x,代入a+b=c+4求出x=2,則得到a=6,b=8,c=10;根據切線的性質得到DE=DF=DG,DE⊥BC,DG⊥AB,得到四邊形DECF為正方形,設DE=DF=DG=R,利用S△ABC+S梯形DECA=S△BED+S△DAB,得到關于R的方程,解方程求出R,即可得到四邊形CEDF的面積.
(1)∵a、b是關于x的方程x2﹣(c+4)x+4c+8=0的兩個根,
∴a+b=c+4,ab=4c+8,
∴(a+b)2=(c+4)2,即a2+2ab+b2=c2+8c+16,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形;
(2)連DB,如圖
∵25asin∠BAC=9c,即sin∠BAC=,
在Rt△ABC中,sin∠BAC=,
∴=,
∴25a2=9c2,
∴3c=5a,
設c=5x,則a=3x,b=4x,
∴5x+4x=3x+4x+4,解得x=2,
∴a=6,b=8,c=10,
∵⊙D與BC、AC、AB都相切,切點分別是E、F、G,
∴DE=DF=DG,DE⊥BC,DG⊥AB,
∴四邊形DECF為正方形,
設DE=DF=DG=R,
∵S△ABC+S梯形DECA=S△BED+S△DAB,
∴×6×8+×(R+8)×R=×(6+R)×R+×10×R,解得R=6,
∴四邊形CEDF的面積=R2=36.
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【題目】如圖,在中,,,于點,的平分線分別交、于、兩點,為的中點,的延長線交于點,連接,下列結論:①為等腰三角形;②;③;④.其中正確的結論有( )
A.個B.個C.個D.個
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是弧AB的中點,點D是⊙O外一點,AD=AB,AD交⊙O于F,BD交⊙O于E,連接CE交AB于G.
(1)證明:∠C=∠D;
(2)若∠BEF=140°,求∠C的度數;
(3)若EF=2,tanB=3,求CECG的值.
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【題目】某數學興趣小組開展了一次活動,過程如下:設.現把小棒依次擺放在兩射線之間,并使小棒兩端分別落在射線、上.
活動一、如圖甲所示,從點開始,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在端點處互相垂直(為第1根小棒)
數學思考:
(1)小棒能無限擺下去嗎?答: (填“能”或“不能”)
(2)設,求的度數;
活動二:如圖乙所示,從點開始,用等長的小棒依次向右擺放,其中為第一根小棒,且.
數學思考:
(3)若已經擺放了3根小棒,則 , , ;(用含的式子表示)
(4)若只能擺放5根小棒,則的取值范圍是 .
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【題目】已知:如圖,△ABC內接于⊙O,AF是⊙O的弦,AF⊥BC,垂足為D,點E為弧BF上一點,且BE=CF,
(1)求證:AE是⊙O的直徑;
(2)若∠ABC=∠EAC,AE=8,求AC的長.
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【題目】甲、乙兩車從A地出發(fā),沿同一路線駛向B地,甲車先出發(fā)勻速駛向B地,40min后,乙車出發(fā),勻速行駛一段時間后,在途中的貨站裝貨耗時半小時.由于滿載貨物,為了行駛安全,速度減少了50km/h,結果與甲車同時到達B地,甲乙兩車距A地的路程y(km)與乙車行駛時間x(h)之間的函數圖象如圖所示
(1)a= ,甲的速度是 km/h;
(2)求線段CF對應的函數表達式,并求乙剛到達貨站時,甲距B地還有多遠?
(3)乙車出發(fā) min追上甲車?
(4)直接寫出甲出發(fā)多長時間,甲乙兩車相距40km.
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【題目】如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用,表示直角三角形的兩直角邊(),下列四個說法:
①,②,③,④.
其中說法正確的是 …………………………………………………………( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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【題目】如圖,已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D,交BC的延長線于點E.
(1)求證:∠DAC=∠DCE;
(2)若AB=2,sin∠D=,求AE的長.
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