Question

如圖所示，直角三角形ABC中．AB=4，BC=3，一個動點D從A出發(fā)到C，速度為1，另一個動點E從B出發(fā)到A，速度是0.8，請寫出sin∠DEB與時間t的表達式，并求出sin∠DEB的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當90°＜∠DEB≤180°時
作DF⊥AB于F．
∴AD=t，BE=0.8t，△ADF∽△ACB
∴
∴可以求得DF=0.6t，AF=0.8t
∴EF=4-1.6t
在直角三角形DFE中，由勾股定理得：
DE=
∴DE=
∴sin∠DEB=（0≤sin∠DEB＜1）

（2）當0°≤∠DEB≤90°時
作DG⊥AB于G．
∴AD=t，BE=0.8t，△ADF∽△ACB
∴
∴可以求得DG=0.6t，AG=0.8t
∴EG=1.6t-4
在直角三角形DFE中，由勾股定理得：
DG=
∴sin∠DEB=（0≤sin∠DEB≤1）
綜上所述，sin∠DEB與時間t的表達式：sin∠DEB=（0≤sin∠DEB≤1）
分析：本題要求sin∠DEB與時間t的表達式，可以分為兩種情況進行分析，當90°＜∠DEB≤180°或當0°≤∠DEB≤90°時
分別計算，在計算中作出輔助線，制造直角三角形，利用三角形相似和勾股定理把相應的線段用t的式子表示出來，最后根據正弦值的表示方法表示出sin∠DEB的表達式．
點評：本題是一道解直角三角形的計算題，考查了解直角三角形的計算方法，相似三角形的判定及性質，勾股定理的運用．