Question

【題目】在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A（1，-1），B（3，-1），動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以2個單位/秒的速度運(yùn)動．過P作PQ⊥OA于Q．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒（0 < t < 2），ΔOPQ與四邊形OABC重疊的面積為S．

（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將ΔOPQ繞P點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點(diǎn)O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）求S與t的函數(shù)解析式；

Answer 1

【答案】（1） 頂點(diǎn)M（2）（3）或（4）當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時，

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），然后根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出a、b的值，得到解析式，然后根據(jù)頂點(diǎn)式或配方為頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)即可；

（2）根據(jù)P的速度求出OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOC=45°，然后判斷出△POQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出O、Q的坐標(biāo)，然后分別帶入拋物線解析式即可求解；

（4）求出點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時的t=1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時的t=1.5，t=2是PQ經(jīng)過點(diǎn)B，然后分①0＜t≤1時，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②當(dāng)1＜t≤1.5時，重疊部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個等腰直角三角形的面積，分別列式整理即可為求解.

試題解析：（1） 頂點(diǎn)M

（2）

（3）或

（4）當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，