【題目】如圖,在Rt△ABC中,=n,M為BC上的一點(diǎn),連接BM.
(1)如圖1,若n=1,
①當(dāng)M為AC的中點(diǎn),當(dāng)BM⊥CD于H,連接AH,求∠AHD的度數(shù);
②如圖2,當(dāng)H為CD的中點(diǎn),∠AHD=45°,求的值和∠CAH的度數(shù);
(2)如圖3,CH⊥AM于H,連接CH并延長(zhǎng)交AC于Q,M為AC中點(diǎn),直接寫(xiě)出tan∠BHQ的值(用含n的式子表示).
【答案】(1)①45°;②,15°;(2)tan∠BHQ=n.
【解析】
(1)①如圖1中,作AK⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于K.利用全等三角形的性質(zhì)證明AK=CH,再證明CH=KH,推出AK=KH即可解決問(wèn)題.
②如圖2中,作AK⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于K,作CM⊥AB于M.設(shè)DH=CH=a.證明△ADH∽△CDA,推出AD=a,設(shè)AM=CM=BM=x,在Rt△CMD中,根據(jù)CM2=DM2+CD2,構(gòu)建方程求出x(用a表示),求出BD即可,再證明sin∠ACK=,推出∠ACK=30°即可解決問(wèn)題.
(2)作AJ⊥BM交BM的延長(zhǎng)線于J.設(shè)AM=CM=y,則BC=2yn.想辦法求出AJ,HJ(用n,y表示)即可解決問(wèn)題.
(1)①如圖1中,作AK⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于K.
∵CD⊥BM,AK⊥CK,∠ACB=90°,
∴∠CHB=∠K=90°,∠CBH+∠BCH=90°,∠BCH+∠ACK=90°,
∴∠CBH=∠ACK,
∵CB=CA,
∴△CHB≌△AKC(AAS),
∴AK=CH,
∵∠CHM=∠K=90°,
∴MH∥AK,
∵AM=BM,
∴CH=KH,
∴AK=KH,
∵∠K=90°,
∴∠AHD=45°.
②如圖2中,作AK⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于K,作CM⊥AB于M.設(shè)DH=CH=a.
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=45°,
∵∠AHD=45°,∠AHD=∠ACH+∠CAH,
∴∠ACH+∠CAH=∠CAH+∠DAH,
∴∠DAH=∠ACD,
∵∠ADH=∠CAD,
∴△ADH∽△CDA,
∴=,
∴=,
∴AD=a,
∵CA=CB,∠ACB=90°,CM⊥AB,
∴AM=BM,
∴CM=AM=BM,設(shè)AM=CM=BM=x,
在Rt△CMD中,∵CM2=DM2+CD2,
∴x2+(x﹣a)2=4a2,
解得x=a(負(fù)根已經(jīng)舍棄).
∴BD=AB﹣AD=(+)a﹣a=a,
∴.
∵△ADH∽△CDA,
∴,設(shè)AH=m,則AC=m,AK=KH=m,
∴tan∠ACK=,
∴∠ACH=30°,
∴∠CAH=∠AHD﹣∠ACH=45°﹣30°=15°.
(2)作AJ⊥BM交BM的延長(zhǎng)線于J.設(shè)AM=CM=y,則BC=2yn.
∵CH⊥BM,BM===y,
∴CH==,
∴HM==y,
∵AJ⊥BJ,CH⊥BJ,
∴∠J=∠CHM=90°,
∵∠AMJ=∠CMH,AM=CM,
∴△AMJ≌△CMH(AAS),
∴AJ=CH=y,HM=JM=y,
∵∠BHQ=∠AHJ,
∴tan∠BHQ=tan∠AHJ=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G為AD的中點(diǎn),連接CG,CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FD.
(1)求證:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某年級(jí)共有名學(xué)生.為了解該年級(jí)學(xué)生,兩門(mén)課程的學(xué)習(xí)情況,從中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,獲得了他們的成績(jī)(百分制),并對(duì)數(shù)據(jù)(成績(jī))進(jìn)行整理描述和分析下面給出了部分信息.
①課程成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成組:,,,,,);
②課程成績(jī)?cè)?/span>這一組的數(shù)據(jù)為:
③,兩門(mén)課程成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:
課程 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出表中的值;
(2)在此次測(cè)試中,某學(xué)生的課程成績(jī)?yōu)?/span>分,課程成績(jī)?yōu)?/span>分,這名學(xué)生成績(jī)排名更靠前的課程是_______(填“”或“”),理由是;___________;
(3)假設(shè)該年級(jí)學(xué)生都參加了此次測(cè)試,估計(jì)課程成績(jī)超過(guò)分的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】老師隨機(jī)抽查了本學(xué)期學(xué)生閱讀課外書(shū)冊(cè)數(shù)的情況,并將抽查結(jié)果繪制成條形圖(圖1)和不完整的扇形圖(圖2),其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分.
(1)條形圖中被遮蓋的人數(shù)為 ,被抽査的學(xué)生讀書(shū)冊(cè)數(shù)的中位數(shù)為 .
(2)扇形圖中5冊(cè)所占的圓心角的度數(shù)為 ;
(3)在所抽查的學(xué)生中隨機(jī)選一人談讀書(shū)感想,求選中讀書(shū)超過(guò)5冊(cè)的學(xué)生的概率;
(4)隨后又補(bǔ)查了另外幾人,得知最少的讀了6冊(cè),將補(bǔ)查數(shù)據(jù)與之前的數(shù)據(jù)合并后,發(fā)現(xiàn)冊(cè)數(shù)的中位數(shù)沒(méi)改變,求最多補(bǔ)查了幾人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形△ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,∠BAC=90°,連接PA,PB,PC,若AC=6,AB=8,求PA+PB+PC的最小值_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓形轉(zhuǎn)盤(pán)(如圖).規(guī)定:顧客購(gòu)物元以上可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn) 盤(pán)的機(jī)會(huì),當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)指針落在哪一個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品 (指針指向兩個(gè)扇形的交線時(shí),當(dāng)作指向右邊的扇形),下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù) | ||||||
落在“鉛筆"的次數(shù) | ||||||
落在“鉛筆"的頻率, (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位) |
(1)轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次,獲得鉛筆的概率約為____ ;( 結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字);
(2)鉛筆每只元,飲料每瓶元,經(jīng)統(tǒng)計(jì)該商場(chǎng)每天約有名顧各參加抽獎(jiǎng)活動(dòng),請(qǐng)計(jì)算該商場(chǎng)每天需要支出的獎(jiǎng)品費(fèi)用;
(3)在(2)的條件下,該商場(chǎng)想把每天支出的獎(jiǎng)品費(fèi)用控制在元左右,則轉(zhuǎn)盤(pán)上“一瓶飲料”區(qū)域的圓心角應(yīng)調(diào)整為 度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知l1∥l2∥l3,相鄰兩條平行直線間的距離相等,若等腰△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上,若∠ACB=90°,則sinα的值是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G為AD的中點(diǎn),連接CG,CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FD.
(1)求證:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)當(dāng)S△ABC=15時(shí),求該拋物線的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.該拋物線在直線上方的部分與線段CD組成一個(gè)新函數(shù)的圖象。請(qǐng)結(jié)合圖象回答:若新函數(shù)的最小值大于﹣8,求k的取值范圍.
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