如圖所示，以正方形ABCD的邊AB為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于E，交A精英家教網(wǎng)B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BF=4．
（1）求證：△EFO∽△AFD，并求
FEFA
的值；
（2）求cos∠F的值；
（3）求線段BE的長(zhǎng)．
分析：（1）先證明△EFO∽△AFD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到
EF
AF
=
EO
AD
；
（2）解答此題的關(guān)鍵是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根據(jù)此數(shù)值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F；
（3）由△BEF∽△EAF，設(shè)BE=k，則AE=2k，即可求得BE．
解答：解：（1）易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠F=∠F，
故△EFO∽△AFD，
所以
EF
AF
=
EO
AD
，
而EO=AO=
1
2
AB=
1
2
AD，即
FE
FA
=
1
2
；

（2）由△OEF∽△DAF，得
EF
AF
=
OE
DA
=
OE
AB
=
1
2
，
即AF=2EF，又EF2=FB•FA=BF•2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=
1
2
AB+BF=10．
cos∠F=
EF
FO
=
4
5
；

（3）由△BEF∽△EAF，得
BE
EA
=
EF
AF
=
8
16
=
1
2
，
設(shè)BE=k，則AE=2k，
由AE2+BE2=AB2，得
（2k）2+k2=122，
解得k=
12
5
5
，
故BE=
12
5
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件找到相似三角形．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

16、如圖所示，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作等邊三角形ACE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F，則∠DEF=
45
度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，以正方形ABCD平行于邊的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，若正方形的邊長(zhǎng)為4．
（1）求過(guò)B、E、F三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；
（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，再求函數(shù)解析式）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，將△DCP沿DP折疊至△DPQ，若DQ，DP恰好與如圖所示的以正方形ABCD的中心O為圓心的⊙O相切，則折痕DP的長(zhǎng)為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，以正方形ABCD中AD邊為一邊向外作等邊△ADE，則∠AEB=（　�。�

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