Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，CF⊥AF，且CF=CD，AF交⊙O于點(diǎn)E，BE交AC于點(diǎn)M．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若AB=6，cos∠BCD=

5

6

，求AM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接O根據(jù)角平分線性質(zhì)得出∠FAC=∠BAC，根據(jù)垂徑定理得出OC⊥BE，求出∠CFE=∠FEB=∠ENC=90°，求出∠OCF=90°，根據(jù)切線判定推出即可．
（2）求出AC和BC，證△BCM和△CAB相似，得出比例式，求出CM，即可得出答案．

解答：（1）證明：
連接OC交BE于N，
∵CF⊥AF，CD⊥AB，CF=CD，
∴∠FAC=∠DAC，
∴弧EC=弧BC，
∴OC⊥BE，
∵AB是直徑，
∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°，
∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°，
即OC⊥CF，
∵OC為半徑，
∴CF是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是直徑，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，∠BCD+∠CBA=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∵AB=6，cos∠BCD=

5

6

，
∴cos∠CAB=

AC

AB

=

5

6

，
∴AC=5，
由勾股定理得：BC=

62-52

=

11

，
∵弧CE=弧BC，
∴∠EAC=∠CBE=∠CAB，
即∠CBM=∠CAB，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CBM，
∴

BC

AC

=

CM

BC

，
∵BC=

11

，AC=5，
∴CM=

11

5

，
∴AM=AC-CM=5-

11

5

=

14

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，角平分線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，綜合性比較強(qiáng)．