Question

新定義：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，則稱點(diǎn)(x₀,x₀)為拋物線y=ax²+bx+c (a≠0)上的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)拋物線C的解析式為：y=ax²+(b+1)x+(b -1)(a≠0).
（1）拋物線C過點(diǎn)(0，-3)；如果把拋物線C向左平移個(gè)單位后其頂點(diǎn)恰好在y軸上，求拋物線C的解析式及其上的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）對于任意實(shí)數(shù)b，實(shí)數(shù)a應(yīng)在什么范圍內(nèi)，才能使拋物線C上總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)？                                           
（3）設(shè)a為整數(shù)，且滿足a+b+1=0，若拋物線C與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁, x₂，是否存在整數(shù)k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）y=x²-x-3，（-1，-1）和(3，3)；（2）0＜a＜1；（3）-1或-2.

試題分析：（1）根據(jù)拋物線C過點(diǎn)(0，-3)，把拋物線C向左平移個(gè)單位后其頂點(diǎn)恰好在y軸上，即可得到關(guān)于a、b的方程組，從而求得結(jié)果；
（2）由拋物線C有兩個(gè)不同點(diǎn)可得△＞0，即b²-4a(b-1)＞0，b²-4ab+4a＞0，再結(jié)合b為任意實(shí)數(shù)，且使得上式成立，可得(-4a)²-4×1×4a＜0，整理得a²-a＜0，即可求得結(jié)果；
（3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入拋物線C得y=ax²-ax-(a+2)，根據(jù)x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得△=a²+4a(a+2)＞0，即可求得字母a的范圍，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.
（1）由題意得，解之得 
∴拋物線為y=x²-x-3
令x=x²-x-3，解之得x₁=-1，x₂=3  
∴不動(dòng)點(diǎn)為（-1，-1）和(3，3)；
（2）∵拋物線C有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，
∴x=ax²+(b+1)x+(b-1)，整理得ax²+bx+(b-1)=0
∵拋物線C有兩個(gè)不同點(diǎn)， 
∴△＞0，即b²-4a(b-1)＞0，b²-4ab+4a＞0
∵b為任意實(shí)數(shù)，且使得上式成立，
∴(-4a)²-4×1×4a＜0，整理得a²-a＜0，
從而得或，解之得0＜a＜1   
∴實(shí)數(shù)a應(yīng)在0＜a＜1；
（3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入拋物線C得y=ax²-ax-(a+2)
∵x₁與x₂是拋物線C與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)  
∴△=a²+4a(a+2)＞0，解得a＞0或a＜
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，x₁+x₂="1," x₁·x₂= ,
∴k=3+=3+=( a＞0或a＜,且a為整數(shù))
要使k為整數(shù)，取a= -4、-3、-1、0,其中a= -1、0不合題意，舍去；
∴存在, .
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．