【題目】已知二次函數(shù)yax2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)A(﹣10)、C3,0)、并且與y軸相交于點(diǎn)B,點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),PQy軸交直線BC于點(diǎn)Q

1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式;

2)求線段PQ的最大值;

3)在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)M,使△MAB為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2;(3M11,1),M21),M31,﹣),M41,0).

【解析】

1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可;(2)設(shè)P(﹣m,﹣m2+2m+3),Qm,﹣m+3).利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PQ=﹣m2+3m,再利用配方法求得最值即可;(3)分MAMB,MAABABMB三種情況求點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

解:(1)∵二次函數(shù)yax2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),C3,0).

解得

∴此二次函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3

2)∵設(shè)直線BCykx+b,因其經(jīng)過(guò)B03),C30),

解得k=﹣1,b3

∴直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3

設(shè)P(﹣m,﹣m2+2m+3),Qm,﹣m+3

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3

=﹣m2+3m

=﹣(m2+

PQ的最大值為

3)存在,理由如下:

∵二次函數(shù)y=﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為x=﹣1,OA1,OB3,

RtABO中由勾股定理可得ABAB210

設(shè)M1,a),則MA222+a2,MB212+a32

分三種情況討論:

MAMB,22+a212+a32,得a1,

M11,1);

MAAB,22+a210,得a±,

M21,),M31,﹣);

ABMB,12+a3210,得a0a6,

M41,0),M51,6).

M5、A、B三點(diǎn)共線,

M51,6)舍去.

M的坐標(biāo)為:M11,1),M21),M31,﹣),M41,0).

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如圖2,當(dāng)點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上時(shí),求的長(zhǎng);

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