Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過O作OD∥BC交AB于點D．延長DO交⊙O于點E，作EF⊥AC于點F．連接DF并延長交直線BC于點G，連接EG．

（1）求證：FC=GC；

（2）求證：四邊形EDBG是矩形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）證明△AOD≌△EOF，得到∠ODF=∠OFD，根據(jù)OD∥BC，得到∠FGC=∠ODF，得到∠CFG=∠FGC，得到答案；
（2）證明∠EGC=∠EFC=90°，根據(jù)三個角是直角是四邊形是矩形得到答案．

（1）∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，

∵OD∥BC，∴∠ADO=∠ABC=90°，

在△AOD和△EOF中，

∴△AOD≌△EOF，

∴OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵OD∥BC，∴∠FGC=∠ODF，

又∠GFC=∠OFD，

∴∠CFG=∠FGC，

∴FC=GC；

（2）連接AE、EC，

∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，

∴∠OAE=∠OFD，

∴AE∥DG，

∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，又CF=CG，

∴CE是FG的垂直平分線，

∴△EFC≌△EGC，

∴∠EGC=∠EFC=90°，

又∠EDB=90°，∠ABC=90°，

∴四邊形EDBG是矩形．