Question

【題目】問(wèn)題提出：將一個(gè)邊長(zhǎng)為n（n≥2）的正三角形的三條邊n等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)， 則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和線段數(shù)分別是多少呢？

問(wèn)題探究：要研究上面的問(wèn)題，我們不妨先從特例入手，進(jìn)而找到一般規(guī)律

探究一：將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形的三條邊平分，連接各邊中點(diǎn)，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

如圖1，連接邊長(zhǎng)為2的正三角形三條邊的中點(diǎn)，從上往下：共有1+2+3=6個(gè)結(jié)點(diǎn)．邊長(zhǎng)為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有2個(gè)，共有1+2=3個(gè)，線段數(shù)為3×3=9條；邊長(zhǎng)為2的正三角形有1個(gè)，線段數(shù)為3條，總共有3×（1+2+1）=2×（1+2+3）=12條線段．

探究二：將一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形的三條邊三等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

如圖2，連接邊長(zhǎng)為3的正三角形三條邊的對(duì)應(yīng)三等分點(diǎn)，從上往下：共有1+2+3+4=10個(gè)結(jié)點(diǎn)．邊長(zhǎng)為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有2個(gè)，第三層有3個(gè)，共有1+2+3=6個(gè)，線段數(shù)為3×6=18條；邊長(zhǎng)為2的正三角形有1+2=3個(gè)，線段數(shù)為3×3=9條，邊長(zhǎng)為3的正三角形有1個(gè)，線段數(shù)為3條，總共有3×（1+2+3+1+2+1）=3×（1+2+3+4）=30條線段．

探究三：

請(qǐng)你仿照上面的方法，探究將邊長(zhǎng)為4的正三角形的三條邊四等分（圖3），連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

（畫出示意圖，并寫出探究過(guò)程）

問(wèn)題解決：

請(qǐng)你仿照上面的方法，探究將一個(gè)邊長(zhǎng)為n（n≥2）的正三角形的三條邊n等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和線段數(shù)分別是多少？（寫出探究過(guò)程）

實(shí)際應(yīng)用：

將一個(gè)邊長(zhǎng)為30的正三角形的三條邊三十等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和線段數(shù)分別是多少？

Answer 1

【答案】探究三：結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)，線段數(shù)為60條；問(wèn)題解決：結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，線段數(shù)為條；實(shí)際應(yīng)用：結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為465個(gè)，線段數(shù)為14880條

【解析】

探究三：根據(jù)探究一和探究二的方法求解即可；

問(wèn)題解決：根據(jù)探究一、探究二、探究三的過(guò)程總結(jié)規(guī)律即可；

實(shí)際應(yīng)用：根據(jù)“問(wèn)題解決”中總結(jié)的規(guī)律求解即可．

解：探究三：如圖3中，

連接邊長(zhǎng)為4的正三角形三條邊的對(duì)應(yīng)四等分點(diǎn)，從上往下：共有1+2+3+4+5=15個(gè)結(jié)點(diǎn)．邊長(zhǎng)為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有2個(gè)，第三層有3個(gè)，第四層有4個(gè)，共有1+2+3+4=10個(gè)，線段數(shù)為3×10=30條；邊長(zhǎng)為2的正三角形有1+2+3=6個(gè)，線段數(shù)為3×6=18條，邊長(zhǎng)為3的正三角形有3個(gè)，線段數(shù)為3×3=9，邊長(zhǎng)為4的正三角形有1個(gè)，線段數(shù)為3條，總共有3×(1+2+3+4+1+2+3+3+1)=4×(1+2+3+4+5)=60條線段．

∴該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)，線段數(shù)為60條；

問(wèn)題解決：探究將一個(gè)邊長(zhǎng)為n(n≥2)的正三角形的三條邊n等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，從上往下：共有1+2+3+4+5+…n=個(gè)結(jié)點(diǎn)．邊長(zhǎng)為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有2個(gè)，第三層有3個(gè)，第四層有4個(gè)，第n層有n個(gè)，共有(1+2+3+4+…+n)個(gè)，線段數(shù)為3×(1+2+3+4+…+n)條；邊長(zhǎng)為2的正三角形有1+2+3=6個(gè)，線段數(shù)為3×6=18條，邊長(zhǎng)為3的正三角形有3個(gè)，線段數(shù)為3×3=9，邊長(zhǎng)為4的正三角形有1個(gè)，線段數(shù)為3條，…邊長(zhǎng)為n的三角形1個(gè)，線段數(shù)為3，總共有n(1+2+3+…+n+1)=．

∴該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，線段數(shù)為條；

實(shí)際應(yīng)用：將一個(gè)邊長(zhǎng)為30的正三角形的三條邊三十等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為=465個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，線段總數(shù)==14880條線段．

該三角形被剖分的網(wǎng)格中的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為465個(gè)，線段數(shù)為14880條．