Question

（1）已知恒等式x³-x²-x+1=（x-1）（x²+kx-1），求k的值；
（2）若x是整數(shù)，求證：

x3-x2-x+1

x2-2x+1

是整數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先將等式右邊展開計(jì)算，再根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，列出關(guān)于k的方程，從而求出k的值；
（2）把（1）中k的值代入，可將x³-x²-x+1因式分解，再進(jìn)行分式的除法運(yùn)算，可求出

x3-x2-x+1

x2-2x+1

的結(jié)果，然后根據(jù)條件x是整數(shù)，即可得證．

解答：解：（1）由題設(shè)知，（x-1）（x²+kx-1）=x³+（k-1）x²-（k+1）x+1，
所以x³-x²-x+1=x³+（k-1）x²-（k+1）x+1，
從而有k-1=-1，-k-1=-1，
解得k=0．
故所求k的值為0；
（2）由（1）知k=0，則x³-x²-x+1=（x-1）（x²-1）=（x-1）²（x+1），
∴

x3-x2-x+1

x2-2x+1

=

(x-1)2(x+1)

(x-1)2

=x+1．
又∵x是整數(shù)，
∴x+1是整數(shù)．
故

x3-x2-x+1

x2-2x+1

是整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，因式分解及分式的除法．由于多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的內(nèi)容在初中教材大綱中不學(xué)習(xí)，故本題第二問有一定難度，屬于競賽題型．解決第一問的關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，利用兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，列出關(guān)于k的方程；解決第二問的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)論，將多項(xiàng)式x³-x²-x+1因式分解．