【題目】如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長(zhǎng)線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)AE=3.
【解析】分析: (1)要證EF是⊙O的切線,只要連接OE,再證∠FEO=90°即可;
(2)證明△FEA∽△FBA,得出AE,BF的比例關(guān)系式,勾股定理得出AE,BF的關(guān)系式,求出AE的長(zhǎng).
詳解:
(1)證明:連接OE,
∵∠B的平分線BE交AC于D,
∴∠CBE=∠ABE.
∵EF∥AC,
∴∠CAE=∠FEA.
∵∠OBE=∠OEB,∠CBE=∠CAE,
∴∠FEA=∠OEB.
∵∠AEB=90°,
∴∠FEO=90°.
∴EF是⊙O切線.
(2)解:∵AFFB=EFEF,
∴AF×(AF+15)=10×10.
∴AF=5.
∴FB=20.
∵∠F=∠F,∠FEA=∠FBE,
∴△FEA∽△FBE.
∴EF=10
∵AE2+BE2=15×15.
∴AE=3.
點(diǎn)睛: 本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC沿著CE翻折,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,CD與AB交于點(diǎn)F,恰好有CE=CF,若DF=6,AF=14,則tan∠CEF=__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.∠A-∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=3: 4: 7
C.∠A=2∠B=3∠CD.∠A=9°,∠B=81°
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(﹣1,0),B(3,0),交y軸的負(fù)半軸于C,頂點(diǎn)為D.下列結(jié)論:①2a+b=0;②2c<3b;③當(dāng)m≠1時(shí),a+b<am2+bm;④當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí),則a= ;⑤當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),a的值有3個(gè).其中正確的有( )個(gè).
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【題目】如圖,小明(視為小黑點(diǎn))站在一個(gè)高為10米的高臺(tái)A上,利用旗桿OM頂部的繩索,劃過90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米,高為3米的矮臺(tái)B.那么小明在蕩繩索的過程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN是( )
A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】BD、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高,P在BD的延長(zhǎng)線上,且BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB,
求證:(1)AP=AQ ;
(2)AP⊥AQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司有2位股東,25名工人,從2006年至2008年,公司每年股東的總利潤和每年工人的工資總額如圖所示.
(1)填寫下表
年份 | 2006年 | 2007年 | 2008年 |
工人的平均工資/元 |
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股東的平均工資/元 |
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(2)假設(shè)在以后的若干年中,每年工人的工資和股東的利潤都按圖中的速度增長(zhǎng),那么到哪一年,股東的平均利潤是工人的平均工資的10倍?
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【題目】國家環(huán)保局統(tǒng)一規(guī)定,空氣質(zhì)量分為5級(jí):當(dāng)空氣污染指數(shù)達(dá)0—50時(shí)為1級(jí),質(zhì)量為優(yōu);51—100時(shí)為2級(jí),質(zhì)量為良;101—200時(shí)為3級(jí),輕度污染;201—300時(shí)為4級(jí),中度污染;300以上時(shí)為5級(jí),重度污染.某城市隨機(jī)抽取了2015年某些天的空氣質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果,并整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列各題:
(1)本次調(diào)查共抽取了 天的空氣質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中3級(jí)空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的圓心角為 °;
(3)如果空氣污染達(dá)到中度污染或者以上,將不適宜進(jìn)行戶外活動(dòng),請(qǐng)你估計(jì)2015年該城市有多少天不適宜開展戶外活動(dòng).(說明:2015年共365天)
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【題目】在△ABC中,AB=AC≠BC,點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè),BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,連接AD,求∠ADB的度數(shù).(不必解答)
(1)小聰先從特殊問題開始研究,當(dāng)α=90°,β=30°時(shí),利用軸對(duì)稱知識(shí),以AB為對(duì)稱軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱圖形△ABD′,連接CD′(如圖2),然后利用α=90°,β=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問題.
請(qǐng)結(jié)合小聰研究問題的過程和思路,在這種特殊情況下填空:△D′BC的形狀是 三角形;∠ADB的度數(shù)為 .
(2)在原問題中,當(dāng)∠DBC<∠ABC(如圖1)時(shí),請(qǐng)計(jì)算∠ADB的度數(shù);
(3)在原問題中,過點(diǎn)A作直線AE⊥BD,交直線BD于E,其他條件不變?nèi)?/span>BC=7,AD=2.請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)為 .
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