Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BC相交于點N，連接BM，DN．

（1）求證：四邊形BMDN是菱形；

（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周長和對角線MN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）周長20，

【解析】

（1）根據矩形性質求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根據菱形性質求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根據勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，求出MD＝5，由勾股定理求出BD的長，得出OB的長，再由勾股定理求出OM，即可得出MN的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，

∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO．

∵MN是BD的垂直平分線

∴OD＝OB，

在△DMO和△BNO中，

，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM＝ON．

∵OB＝OD，

∴四邊形BMDN是平行四邊形．

∵MN⊥BD，

∴四邊形BMDN是菱形．

（2）解：設MD＝MB＝x，則AM＝8﹣x．

在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，

解得：x＝5．即MB＝5，

∴菱形BMDN的周長為5×4＝20．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝4，

∴．

在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝，

由（1）得：OM＝ON，

∴．