Question

我們把由不平行于底邊的直線(xiàn)截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱(chēng)為“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”．其中∠B=∠C．

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線(xiàn)將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫(huà)出一種示意圖即可）；
（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C．E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：

AB

DC

=

BE

EC

；
（3）如圖3，在由不平行于BC的直線(xiàn)AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E．若EB=EC，則四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E，則△ABE和四邊形AECD就是所求作的圖形；
（2）由AB∥DE，AE∥DC，就可以得出∠B=∠DEC，∠AEB=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，就可以得出結(jié)論；
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)就可以得出EF=EG=EH，就可以得出△BEF≌△BEH，就可以得出∠FBE=∠HCE，從而得出∠ABC=∠DCB而得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E，
∴∠AEB=∠C．
∵∠B=∠C
∴∠AEB=∠B，
∴AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形；
∵AE∥CD，AD≠CD，
∴四邊形AECD是梯形．
∴△ABE和四邊形AECD就是所求作的圖形；

（2）∵AB∥DE，AE∥DC，
∴∠B=∠DEC，∠AEB=∠C．
∵∠B=∠C，
∴∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE，
∴

AB

DC

=

BE

EC

；

（3）四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．
理由：作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EFB=∠EHC=90°，EF=EG=EH．
在Rt△BEF和Rt△CEH中

BE=CE EF=EH

，
∴Rt△BEF≌Rt△CEH（HL）；
∴∠FBE=∠HCE．
∵BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠EBC+∠FBE=∠ECB+∠HCE，
∴∠ABC=∠HCB．
∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．