Question

已知二次函數(shù)y=a（x-2）²-a（x-2）（a為常數(shù)，且a≠0．）
（1）求證：不論a為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積等于2時(shí)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）把（x-2）看作一個(gè)整體，令y=0，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出AB，再把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：令y=0，a（x-2）²-a（x-2）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不論a為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）解：y=0，則a（x-2）²-a（x-2）=a（x-2）（x-2-1）=0，
解得：x₁=2，x₂=3，
∴AB=1，
y=a（x-2）²-a（x-2）=a（x-2-

1

2

）²-

a

4

，
△ABC的面積=

1

2

×1×|

a

4

|=2，
解得：a=±16．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與圖象交點(diǎn)求法以及根的判別式、三角形的面積求法，把（x-2）看作一個(gè)整體求解更加簡(jiǎn)便．