Question

如圖，AP是∠MAN的平分線，B是射線AN上的一點，以AB為直徑作⊙O交AP于點C，過點C作CD⊥AM于點D．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若OA=6，AD=10，求CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）連接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，由AP平分∠MAN得∠DAC=∠CAO，則∠DAC=∠OCA，根據平行線的判定得到AD∥OC，而AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到直線DC與⊙O相切；
（2）作CE⊥AB于E，先根據角平分線性質得CD=CE，在根據“HL”判斷Rt△ADC≌Rt△AEC，得到AE=AD=10，則OE=4，在Rt△OCE中根據勾股定理計算出CE即可．

解答：解：（1）直線DC與⊙O相切．理由如下：
連接OC，如圖，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AP平分∠MAN，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，且O點為⊙O半徑，
∴直線DC與⊙O相切；

（2）作CE⊥AB于E，如圖，
∵AP平分∠MAN，CD⊥AM，
∴CD=CE，
在Rt△ADC和Rt△AEC中

CD=CE AC=AC

，
∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL），
∴AE=AD=10，
∴OE=AE-OA=4，
在Rt△OCE中，OC=6，OE=4，
∴CE=

OC2-OE2

=2

5

，
∴CD=2

5

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理和角平分線性質．