Question

矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的B′處，再沿B′G折疊四邊形，使B′D邊與B′F重合，且B′D′過(guò)點(diǎn)F．已知AB=4，AD=1
（1）試探索EF與B′G的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若四邊形EFGB′是菱形，求∠BFE的度數(shù)；
（3）若點(diǎn)D′與點(diǎn)F重合，求此時(shí)圖形重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）因?yàn)槭蔷匦危?br/>∴∠BFB′=∠FB′D，2個(gè)角都有平分線，
∴∠EFB′=∠FB′G，
∴EF∥B′G；

（2）∵是菱形，有對(duì)稱性，
∴∠EFB′=∠B′FG，
又∵∠EFB=∠EFB′，且這3個(gè)角加起來(lái)180度，
∴都是60度；

（3）由條件可得四邊形AEFB與四邊形CGB'D是一樣的，BF=FB′=B′D．
設(shè)長(zhǎng)度都是x，有x²=（13-2x）²+4²，
解得x=5．
重疊部分的面積=（52-6×2）÷2=20．
分析：（1）矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，平行線的判定即可得出EF與B′G的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°，可求∠BFE的度數(shù)；
（3）先根據(jù)勾股定理求出BF=FB′=B′D的長(zhǎng)．再根據(jù)重合部分面積=（矩形面積-2個(gè)三角形的面積）÷2求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），同時(shí)考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，勾股定理的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．