【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-1,0),B3,0)兩點(diǎn),與y軸交點(diǎn)于C0,-3).

1)確定該拋物線的解析式,并求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M使得∠AMC90°,請(qǐng)求出滿足條件的所有的點(diǎn)M的坐標(biāo);

3)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得∠APB=∠ACO ?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1yx2-2x-3,頂點(diǎn)D1,-4);(2M1,-1)或(1,-2);(3)存在,P點(diǎn)橫坐標(biāo) 1+1-

【解析】

1)由拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知,設(shè)拋物線為C的坐標(biāo)代入即可得到答案,

2)由拋物線的對(duì)稱軸,設(shè)過(guò)交對(duì)稱軸于,利用勾股定理列方程可得到答案,

3)以AB為底邊,作頂角為2ACO的等腰三角形HAB,以H為圓心,HA為半徑作⊙H,與拋物線的交點(diǎn)為P,則滿足∠APB=ACO,對(duì)稱軸與交于點(diǎn) ,求解的坐標(biāo),利用HP=HA列方程求解即可.

解:(1 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A-1,0),B3,0),

設(shè)拋物線為:

C0-3)代入得:

拋物線為:

拋物線的頂點(diǎn)為:

2)由(1)知:拋物線的對(duì)稱軸為: 且與軸交于點(diǎn)E,

設(shè)

過(guò)交對(duì)稱軸于,

解得:

3)存在點(diǎn)P的坐標(biāo)使得∠APB=ACO成立,

如圖,以AB為底邊,作頂角為2ACO的等腰三角形HAB,以H為圓心,HA為半徑作⊙H,與拋物線的交點(diǎn)為P,則滿足∠APB=ACO,對(duì)稱軸與交于點(diǎn) ,

當(dāng)點(diǎn)HAB上方時(shí),

H1,6).

設(shè)Px,y),其中

HP=HA,得

y=0(舍去)或y=11,

,

解得

P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:

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