Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，若以BD為直徑的⊙M經(jīng)過點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使∠EDB=∠CBD？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵將x=0代入拋物線的解析式得y=﹣3a，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3a）．

∵x=﹣ = =1，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．

∵將x=1代入拋物線的解析式得y=a﹣2a﹣3a=﹣4a，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，﹣4a）．

（2）

解：解：令y=0得：ax2﹣2ax﹣3a=0

∵a≠0，故得x1=﹣1，x2=3

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

如圖1所示：過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，則DN=1，CN=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a．

∵BD為⊙M的直徑，

∴∠BCD=90°．

∴∠DCN+∠BCO=90°．

∵∠CDN+∠DCN=90°，

∴∠BCO=∠CDN，

∵∠BOC=∠DNC=90°，

∴△BOC∽△CND．

∴ ，即 ，解得：a=±1（其中a=1舍去），

∴a=﹣1．

∴所求拋物線為y=﹣x2+2x+3．

（3）

解：∵a=﹣1，

∴D（1，4）．

∵設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC為：y=﹣x+3．

如圖2所示：過點(diǎn)D作DE∥BC，交拋物線與點(diǎn)E．

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠CBD．

∴設(shè)直線DE為y=﹣x+b

∵把點(diǎn)D（1，4）代入得：4=﹣1+b，解得：b=5，

∴直線DE為：y=﹣x+5．

解方程組 得： ，

∵D（1，4）

∴E（2，3）．

如圖3所示：作∠PDB=∠CBD，DP交BC于點(diǎn)P，交拋物線與點(diǎn)E．

∵∠EDB=∠CBD，

∴PD=PB．

又∵M(jìn)B=MD，

∴PM⊥BD．

∵B（3，0），D（1，4），

∴直線BD為y=﹣2x+6，且M（2，2）

∴設(shè)直線PM為 ，

∴2=1+b2，

∴b2=1

∴直線PM為：

解方程組 得： ，

∴P（ ， ）

∵D（1，4），P（ ， ）

∴直線PD為：y=﹣7x+11

解方程組 得： ，

∵D（1，4），

∴E（8，﹣45）．

綜上所述，在拋物線上存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（2，3）或E（8，﹣45）．

【解析】（1）將x=0代入拋物線的解析式可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，依據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；（2）令y=0可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，則DN=1，CN=﹣a．接下來(lái)證明△BOC∽△CND，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；（3）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)、直線BC的解析式，點(diǎn)D作DE∥BC，交拋物線與點(diǎn)E．設(shè)直線DE的解析式為y=﹣x+b，把點(diǎn)D（1，4）代入直線DE的解析式求得b的值，然后將DE的解析式與拋物線的解析式組成方程可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；作∠PDB=∠CBD，DP交BC于點(diǎn)P，交拋物線與點(diǎn)E．克證明MP垂直平分BD，從而可求得PM的解析式，然后由PM的解析式和BC的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，接下來(lái)求得PD的解析式，最后根據(jù)DP的解析式和拋物線的解析式可求得E的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象是解答本題的根本，需要知道一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．