Question

【題目】如圖，已知與，平分．

(1)如圖1，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：

解：．

理由如下：如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，

…

請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．

(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過程．

(3)若，．

①如圖3，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、時(shí)，(1)中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段、、有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．

②如圖4，的一邊與的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，的一邊與的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)證明見解析；(3)①成立，理由見解析；②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，.在圖5中，(1)中的結(jié)論成立，

【解析】

（1）通過ASA證明即可得到CD=CE；（2）過點(diǎn)作，，垂足分別為，，通過AAS證明同樣可得到CD=CE；（3）①方法一：過點(diǎn)作，垂足分別為，，通過AAS得到，進(jìn)而得到，利用等量代換得到，在中，利用30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半得，同理得到，所以；方法二：以為一邊作，交于點(diǎn)，通過ASA證明，得到，所以；②圖4：以OC為一邊，作∠OCF=60°與OB交于F點(diǎn)，利用ASA證得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF

得到OE=OF+EF=OC+OD；圖5:以OC為一邊，作∠OCG=60°與OA交于G點(diǎn)，利用ASA證得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.

解：(1)平分，，

又

在與中，

(2)如圖2，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，

∴，

又∵平分，

∴，

在四邊形中，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

在與中，

∴，

∴.

(3)①(1)中的結(jié)論仍成立..

理由如下：

方法一：如圖3(1)，過點(diǎn)作，，

垂足分別為，，

∴，

又∵平分，

∴，

在四邊形中，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

在與中，

，

∴，

∴.

∴.

在中，

，

∴，同理，

∴.

方法二：如圖3（2），以為一邊作，交于點(diǎn)，

∵平分，∴，

∴，

∴，，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

，

∴，

在與中，

∴，

∴.

∴.

②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，.

如圖，以OC為一邊，作∠OCF=60°與OB交于F點(diǎn)

∵∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線

∴∠COB=∠COA=60°

又∵∠OCF=60°

∴△COF為等邊三角形

∴OC=OF

∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°

∴∠OCD=∠FCB

又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°

∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°

∴∠COD=∠CFE

∴△COD≌△CFE（ASA）

∴CD=CE，OD=EF

∴OE=OF+EF=OC+OD

即OE-OD=OC

在圖5中，(1)中的結(jié)論成立，.

如圖，以OC為一邊，作∠OCG=60°與OA交于G點(diǎn)

∵∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線

∴∠COB=∠COA=60°

又∵∠OCG=60°

∴△COG為等邊三角形

∴OC=OG

∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°

∴∠DCG=∠OCE

又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°

∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°

∴∠CGD=∠COE

∴△CGD≌△COE（ASA）

∴CD=CE，OE=DG

∴OD=OG+DG=OC+OE

即OD-OE=OC