Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列四個(gè)命題：①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0； ②若a=﹣1，則b=3；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，則y1＞y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6 ．其中正確的命題有（ ）個(gè)．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=﹣ =1，當(dāng)a=﹣1時(shí)有 =1，解得b=3，故本選項(xiàng)正確；③∵x1+x2＞2，

∴ ＞1，

又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，

∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，

∴y1＞y2，故本選項(xiàng)正確；④如圖，作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，

連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．

當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=﹣1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）；

則DE= = ；D′E′= = ；

∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為 + ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

正確的有2個(gè)．

所以答案是：B．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．