Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+1（k≠0）與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象在第一象限有公共點A（1，2）．直線l⊥y軸于點D（0，3），與反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象分別交于點B，C．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）根據(jù)圖象寫出當(dāng)x取何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）分別把點A坐標(biāo)代入y=kx+1和y=

m

x

可計算出k和m的值，從而得到一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）由于直線l⊥y軸于點D（0，3），則可得到B、C點的縱坐標(biāo)都為3，再利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式確定C點和B點坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）先解方程組

y=x+1 y= 2 x

得到一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交點坐標(biāo)，然后利用函數(shù)圖象的位置關(guān)系求解．

解答：解：（1）∵點A（1，2）在直線y=kx+1上，
∴k+1=2，解得k=1，
∴一次函數(shù)解析式為y=x+1；
∵點A（1，2）在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，
∴m=1×2=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；

（2）∵直線l⊥y軸于點D（0，3），
∴B、C點的縱坐標(biāo)都為3，
把y=3代入y=x+1得x+1=3，解得x=2，則C點坐標(biāo)為（2，3），
把y=3代入y=

2

x

得x=

2

3

，則B點坐標(biāo)為（

2

3

，3），
∴△ABC的面積=

1

2

×（3-2）×（2-

2

3

）=

2

3

；

（3）∵方程組

y=x+1 y= 2 x

為

x=1 y=2

或

x=-2 y=-1

，
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交點坐標(biāo)為（1，2）、（-2，-1），
∴當(dāng)x＜-2或0＜x＜1時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．