Question

如圖所示，在△ABC中，E為中線AD上一點，

DE

AE

=

1

2

，連接BE，延長BE交AC于點F，求證：AF=CF．

Answer 1

考點：三角形的重心

專題：證明題

分析：取AC中點F′，連結(jié)DF′，BF′，BF′交AD于E′．根據(jù)三角形中位線定理可得DF′∥AB，DF′=

1

2

AB，再由△DE′F′∽△AE′B，證明E′與E重合，進而根據(jù)兩點確定一條直線可得F′與F重合．

解答：證明：取AC中點F′，連結(jié)DF′，BF′，BF′交AD于E′．
∵D為BC中點，F(xiàn)′為AC中點，
∴DF′∥AB，DF′=

1

2

AB，
∴△DE′F′∽△AE′B，
∴

DE′

AE′

=

DF′

AB

=

1

2

，
∵

DE

AE

=

1

2

，
∴

DE′

AE′

=

DE

AE

=

1

2

，
∴

DE′

DA

=

DE

DA

=

1

3

，
∵E、E′都是中線AD上的點，
∴E′與E重合，
∵兩點確定一條直線
∴BE與AC的交點F′與F重合，
∴AF=CF．

點評：本題實際上考查了三角形的重心的性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．