心理學(xué)家通過實驗發(fā)現(xiàn):初中學(xué)生聽講的注意力隨時間變化,講課開始時,學(xué)生注意力逐漸增強,中間有一段平穩(wěn)狀態(tài),隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間表t(分鐘)變化的函數(shù)圖象如下.當(dāng)0≤t≤10時,圖像是拋物線的一部分,當(dāng)10≤t≤20時和20≤t≤40時,圖像是線段。
(1)當(dāng)0≤t≤10時,求注意力指標(biāo)數(shù)y與時間t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)一道數(shù)學(xué)探究題需要講解24分鐘,問老師能否經(jīng)過恰當(dāng)安排,使學(xué)生在探究這道題時,注意力指標(biāo)數(shù)不低于45?請通過計算說明.
(1);(2)能,理由見解析.
解析試題分析:(1)直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案;
(2)首先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式,進而令y=45,有45=-x+95,求出x的值,進而得出講課后注意力不低于45的時間.
(1)當(dāng)0≤t≤10時,設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c.由于它的圖象經(jīng)過點(0,25),(4,45),(10,60),
所以,
解得:,
所以;
(2)當(dāng)20≤x≤40時,設(shè)函數(shù)解析式為:y=kx+d,將(20,60),(40,25)代入得:
,
解得:
∴,
令y=45,有45=-x+95,
解得:x=,
即講課后第分鐘時注意力不低于45,
當(dāng)0≤x≤10時,令y=45,有45=-x2+6x+25,
解得:x1=4,x2=20(舍去),
即講課后第4分鐘時,注意力不低于45,
所以講課后注意力不低于45的時間有(分鐘)>24(分鐘),
所以老師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在探究這道數(shù)學(xué)題時,注意力指數(shù)不低于45.
考點:二次函數(shù)的應(yīng)用.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標(biāo)為-8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點D,作PE⊥AB于點E.
①設(shè)△PDE的周長為l,點P的橫坐標(biāo)為x,求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出l的最大值;
②連接PA,以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點F或G恰好落在y軸上時,直接寫出對應(yīng)的點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點P是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上一個動點,以P為圓心的圓始終與y軸相切,設(shè)切點為A.
(1)如圖1,⊙P運動到與x軸相切,設(shè)切點為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說明理由.
(2)如圖2,⊙P運動到與x軸相交,設(shè)交點為B,C.當(dāng)四邊形ABCP是菱形時:
①求出點A,B,C的坐標(biāo).
②在過A,B,C三點的拋物線上是否存在點M,使△MBP的面積是菱形ABCP面積的?若存在,試求出所有滿足條件的M點的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線交坐標(biāo)軸于A、B、D三點,過點D作軸的平行線交拋物線于點C.直線l過點E(0,-),且平分梯形ABCD面積.
⑴ 直接寫出A、B、D三點的坐標(biāo);
⑵ 直接寫出直線l的解析式;
⑶ 若點P在直線l上,且在x軸上方,tan∠OPB=,求點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖1,□ABCD中,對角線BD⊥AB,AB=5,AD邊上的高為.等腰直角△EFG中,EF=4, ∠EGF=45°,且△EFG與□ABCD位于直線AD的同側(cè),點F與點D重合,GF與AD在同一直線上.△EFG從點D出發(fā)以每秒1個單位的速度沿射線DA方向平移,當(dāng)點G到點A時停止運動;同時點P也從點A出發(fā),以每秒3個單位的速度沿折線AD→DC方向運動,到達點C時停止運動,設(shè)運動的時間為t.
(1)求的長度;
(2)在平移的過程中,記與相互重疊的面積為,請直接寫出面積與運動時間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;
(3)如圖2,在運動的過程中,若線段與線段交于點,連接.是否存在這樣的時間,使得為等腰三角形?若存在,求出對應(yīng)的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖1,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AC=8,BD=6.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),點P以每秒1個單位長的速度由點A向點D做勻速運動,點Q沿折線CB—BA向點A做勻速運動.
(1)點P將要運行路徑AD的長度為 ;點Q將要運行的路徑折線CB—BA的長度為 .
(2)當(dāng)點Q在BA邊上運動時,若點Q的速度為每秒2個單位長,設(shè)運動時間為t秒.
①求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求自變量t的取范圍;
②求當(dāng)t為何值時,S有最大值,最大值是多少?
(3)如圖2,若點Q的速度為每秒a個單位長(a≤),當(dāng)t =4秒時:
①此時點Q是在邊CB上,還是在邊BA上呢?
②△APQ是等腰三角形,請求出a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品,每件進價為40元.經(jīng)過市場調(diào)查,一周的銷售量y件與銷售單價x(x≥50)元/件的關(guān)系如下表:
銷售單價x (元/件) | … | 55 | 60 | 70 | 75 | … |
一周的銷售量y (件) | … | 450 | 400 | 300 | 250 | … |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側(cè),B點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,﹣3)點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的表達式.
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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