Question

【題目】如圖1所示在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，點(diǎn)E、F分別是邊DC、DA的三等分點(diǎn)（DEEC，DFAF），四邊形DFGE為矩形，連接BG．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：在圖（1）中，＝　 　；

（2）拓展探究：將圖（1）中的矩形DFGE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中的大小有無變化？請僅就圖（2）的情形給出證明；

（3）問題解決：當(dāng)矩形DFGE旋轉(zhuǎn)至B、G、E三點(diǎn)共線時，請直接寫出線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變，證明見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1中，延長FG交BC于H．在解直角三角形求出EC，BG即可解決問題．

（2）結(jié)論：的大小不變．．如圖2中，連接BD，DG．證明△CDE∽△BDG，可得．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)G落在BG上時，利用勾股定理以及（2）中結(jié)論即可解決問題．②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)G落在BE上時，同法可得EC的長．

解：（1）如圖1中，延長FG交BC于H．

∵四邊形ABCD，四邊形DEGF都是矩形，

∴DE＝FG＝AB＝2，DF＝EG＝AD＝1，∠C＝∠CEG＝∠EGH＝90°，

∴四邊形ECHG是矩形，

∴EC＝GH＝4，EG＝CH＝1，BH＝BC﹣CH＝3﹣1＝2，

∴BG＝，

∴，

故答案為．

（2）結(jié)論：的大小不變，．

理由：如圖2中，連接BD，DG．

∵，

∴，

∵∠DCB＝∠DEG＝90°，

∴∠CDB＝∠EDG，，

∴∠CDE＝∠BDG，，

∴△CDE∽△BDG，

∴．

（3）①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)G落在BG上時，

在Rt△DEB中，∵DE＝2．BD＝3，

∴BE＝，

∴BG＝EG+BE＝1+，

∴CE＝BG＝+．

②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)G落在BE上時，同法可得EC＝﹣．

綜上所述，滿足條件的EC的值為±．