【題目】在平面直角坐標系中,已知拋物線與軸交于點和點(點在點的左側),與軸交于點,對稱軸是直線.
(1)求拋物線的表達式;
(2)直線平行于軸,與拋物線交于、兩點(點在點的左側),且,點關于直線的對稱點為,求線段的長;
(3)點是該拋物線上一點,且在第一象限內,聯結、,交線段于點,當時,求點的坐標.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2);(3)(,)或(,).
【解析】
(1)根據拋物線與軸交于點可得出c的值,然后由對稱軸是直線可得出b的值,從而可求出拋物線的解析式;
(2)令y=0得出關于x的一元二次方程,求出x,可得出點A、B的坐標,從而得到AB的長,再求出MN的長,根據拋物線的對稱性求出點M的橫坐標,再代入拋物線解析式求出點M的縱坐標,再根據點的對稱可求出OE的長;
(3)過點E作x軸的平行線EH,分別過點F,P作EH的垂線,垂足分別為G,Q,則FG∥PQ,先證明△EGF∽△EQP,可得,設點F的坐標為(a,-a+3),則EG=a,FG=-a+3-=-a+,可用含a的式子表示P點的坐標,根據P在拋物線的圖象上,可得關于a的方程,把a的值代入P點坐標,可得答案.
解:(1)將點C(0,3)代入得c=3,
又拋物線的對稱軸為直線x=1,
∴-=1,解得b=2,
∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3;
(2)如圖,
令y=0,則-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴點A(-1,0),B(3,0),∴AB=3-(-1)=4,
∵,∴MN=×4=3,
根據二次函數的對稱性,點M的橫坐標為,
代入二次函數表達式得,y=,
∴點M的坐標為,
又點C的坐標為(0,3),點C與點E關于直線MN對稱,
∴CE=2×(3-)=,
∴OE=OC-CE=;
(3)如圖,過點E作x軸的平行線EH,分別過點F,P作EH的垂線,垂足分別為G,Q,則FG∥PQ,
設直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
則,解得,
∴直線BC的解析式為y=-x+3,
設點F的坐標為(a,-a+3),則EG=a,FG=-a+3-=-a+.
∵FG∥PQ,∴△EGF∽△EQP,
∴.
∵,∴FP:EF=1:2,∴EF:EP=2:3.
∴,
∴EQ=EG=a,PQ=FG=(-a+)=-a+,
∴xP=a,yP=-a++=-a+,即點P的坐標為(a,-a+),
又點P在拋物線y=-x2+2x+3上,
∴-a+=-a2+3a+3,化簡得9a2-18a+5=0,
解得a=或a=,符合題意,
∴點P的坐標為(,)或(,).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交AF于點G,連接DG.
(1)求證:四邊形EFDG是菱形;
(2)求證:EG2=GF×AF;
(3)若,折痕AF=5cm,則矩形ABCD的周長為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某區(qū)教育系統(tǒng)為了更好地宣傳掃黑除惡專項斗爭,印制了應知應會手冊,該區(qū)教育局想了解教師對掃黑除惡專項斗爭應知應會知識掌握程度,抽取了部分教師進行了測試,并將測試成績繪制成下面兩幅統(tǒng)計圖,請根據統(tǒng)計圖中提供的信息,回答下面問題:
(1)計算樣本中,成績?yōu)?/span>98分的教師有 人,并補全兩個統(tǒng)計圖;
(2)樣本中,測試成績的眾數是 ,中位數是 ;
(3)若該區(qū)共有教師6880名,根據此次成績估計該區(qū)大約有多少名教師已全部掌握掃黑除惡專項斗爭應知應會知識?
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與軸交于點,點在軸正半軸上,.
(1)求直線的解析式;
(2)點是射線上一點,連接,設點的橫坐標為,的面積為,求與的函數解析式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,與軸交于點,連接,過點作的垂線,垂足為點,直線交軸于點,交線段于點,直線交軸于點,當時,求直線的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某課外活動小組為了解本校學生上學常用的一種交通方式,隨機調查了本校部分學生,根據調查結果,統(tǒng)計整理并制作了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表:請根據以上信息解答下列問題:
(1)參與本次調查的學生共有 人;
(2)統(tǒng)計表中,m= ,n= ;扇形統(tǒng)計圖中,B組所對應的圓心角的度數為 ;
(3)若該校共有1500名學生,請估計全校騎自行車上學的學生人數;
(4)該小組據此次調查結果向學校建議擴建學生車棚,若平均每4平方米能停放5輛自行車,請估計在現有300平方米車棚的基礎上,至少還需要擴建多少平方米才能滿足學生停車需求.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠ACB=45°,D為AC上一點,AD=5,連接BD,將△ABD沿BD翻折至△EBD,點A的對應點E點恰好落在邊BC上.延長BC至點F,連接DF,若CF=2,tan∠ABD=,則DF長為( 。
A.B.C.5D.7
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com