Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：BC²=CD•CA；
（3）若DC=3，BC=4，求AB的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，由OA=OD得∠A=∠ADO，而∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A，則∠ADO+∠CDB=90°，即∠ODB=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線BD與⊙O相切；
（2）先證明△CBD∽△CAB，然后利用相似比即可得到結(jié)論；
（3）在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出BD=5，再利用△CBD∽△CAB，根據(jù)相似比可計(jì)算出AB．

解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥DB，
∴直線BD與⊙O相切；
（2）∵∠DCB=∠BCA，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

，
∴BC²=CD•CA；
（3）在Rt△BCD中，DC=3，BC=4，
∴BD=

CD2+BC2

=5，
∵△CBD∽△CAB，
∴

BD

AB

=

CD

CB

，即

5

AB

=

3

4

∴AB=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．