Question

若正方形ABCD的邊長為12，E為BC邊上一點，BE=5，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BF=AE，則BM長為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì)

專題：

分析：利用勾股定理列式求出AE，再分①點F在CD上時，利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BAE=∠CBF，再求出BF⊥AE，利用三角形的面積列式求解即可得到BM的長；②點F在AD上時，利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△BAF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=BE，連接EF，可得四邊形ABEF是矩形，再根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分解答．

解答：解：如圖，∵正方形的邊長為12，BE=5，
∴AE=

122+52

=13，
①點F在CD上時，如圖1，在Rt△ABE和Rt△BCF中，

BF=AE AB=BC

，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BME=90°，
∴BF⊥AE，
∴S_△ABE=

1

2

×13•BM=

1

2

×12×5，
解得BM=

60

13

；
②點F在AD上時，如圖2，在Rt△ABE和Rt△BAF中，

BF=AE AB=BA

，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴AF=BE，
連接EF，則四邊形ABEF是矩形，
∴BM=

1

2

AE=

13

2

，
綜上所述，BM的長為

60

13

或

13

2

．
故答案為：

60

13

或

13

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．