Question

在以△ABC的AB、AC為邊向外作正方形ABDE及ACGF，作AN⊥BC于點N，延長NA交EF于M點，求證：EM=MF．

Answer 1

分析：過點E作EP垂直NM交NM的延長線于點P，過點F作FH垂直MN于點H，依次證明△EAP≌△ABN、RT△FHA≌RT△ANC、RT△EPM≌RT△FHM即可得出結論．

解答：解：過點E作EP垂直NM交NM的延長線于點P，過點F作FH垂直MN于點H，如下圖所示，

∵∠EAP+∠BAN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠EAP=∠ABN，
在RT△EAP和RT△ABN中，

EA=AB ∠EAP=∠ABN ∠EPA=∠ANB

，
∴△EAP≌△ABN，
故可得：EP=AN，
同理可得：RT△FHA≌RT△ANC，
故可得：FH=AN=EP，
從而可證得：RT△EMP≌RT△FMH，
故EM=MF．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定及性質，解答本題的關鍵是作出輔助線，利用三角形全等的證明得出EP=FH，難度較大．